Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=9.
2^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 2 no anel Z9, ou seja, um número x tal que
2cdot x equiv 1 pmod9
O conteúdo aqui é aritmética modular e inversão multiplicativa.

Passo 2

Para existir inverso, é preciso que
gcd(2,9)=1
Como gcd(2,9)=1, concluímos que 2 tem, de fato, inverso em Z9.

Passo 3

Resolvemos a congruência
2x equiv 1 pmod9
Isto equivale a achar inteiros x e k tais que
2x = 1 + 9k
Testando k=0 obtém-se x=tfrac12 (não inteiro). Para k=1 temos
2x = 10 Longrightarrow x = 5,
que é inteiro.

Passo 4

Verificamos que
2cdot 5 = 10 equiv 1 pmod9,
confirmando que 5 é o inverso multiplicativo de 2 em Z9.

Resposta

5

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