Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=9.
5^-1

Passo 1

O enunciado pede para achar o inverso multiplicativo de 5 no anel Z/9Z, ou seja, encontrar um inteiro x tal que
5x equiv 1 pmod9
Para isso vamos usar o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para expressar gcd(5,9)=1 como combinação linear de 5 e 9. Primeiro,
9 = 5 cdot 1 + 4,
5 = 4 cdot 1 + 1
Em seguida, voltamos para cima para escrever 1 em função de 5 e 9:
1 = 5 - 4 cdot 1
e como 4 = 9 - 5, substituímos:
1 = 5 - (9 - 5) = 2cdot5 - 1cdot9

Passo 3

A combinação 2cdot5 - 1cdot9 = 1 mostra que
2cdot5 equiv 1 pmod9
Logo o inverso de 5 módulo 9 é 2.

Resposta

5^-1 equiv 2 pmod9

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