Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
7^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 7 no anel Z11. O conteúdo que vamos usar é a existência de inverso quando gcd(a,n)=1 e o algoritmo de Euclides estendido para encontrar a combinação linear que produza 1.

Passo 2

Verificamos o máximo divisor comum:
gcd(7,11)=1,
logo o inverso de 7 módulo 11 existe.

Passo 3

Aplicamos o algoritmo de Euclides estendido para achar inteiros x,y tais que 7x+11y=1:
11 = 1cdot7 + 4
7 = 1cdot4 + 3
4 = 1cdot3 + 1
3 = 3cdot1 + 0
Fazendo a retro-substituição:
1 = 4 - 1cdot3
3 = 7 - 1cdot4
1 = 4 - 1cdot(7 - 1cdot4) = 2cdot4 - 1cdot7
4 = 11 - 1cdot7
1 = 2cdot(11 - 1cdot7) - 1cdot7 = 2cdot11 - 3cdot7

Passo 4

Da expressão
-3cdot7 + 2cdot11 = 1
vemos que -3 é um inverso de 7 módulo 11. Tomando o representante positivo,
-3 equiv 8 pmod11

Resposta

7^-1 equiv 8 pmod11

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