Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
3^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 3 no anel Z/11Z, ou seja, o número x tal que
3x equiv 1 pmod11

Passo 2

Para existir o inverso de 3 módulo 11, é preciso que gcd(3,11)=1. Como 11 é primo e 3<11, de fato
gcd(3,11)=1,
então o inverso existe e é único em 1,2,dots,10.

Passo 3

Usamos o algoritmo de Euclides estendido para achar inteiros x,y tais que
3x + 11y = 1
Primeiro a divisão euclidiana sucessiva:
11 = 3cdot3 + 2,
3 = 2cdot1 + 1,
2 = 1cdot2 + 0

Passo 4

Agora voltamos substituindo para expressar 1 como combinação linear:
1 = 3 - 2cdot1,
mas 2 = 11 - 3cdot3, logo
1 = 3 - (11 - 3cdot3) = 3cdot4 - 11cdot1
Isso mostra que x=4 satisfaz 3x + 11y =1. Em Z/11Z, o inverso de 3 é o resto de 4 módulo 11.

Resposta

3^-1 equiv 4 pmod11

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