Na multiplicação módulo
(onde
é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando
.
Determine os seguintes inversos quando
Passo 1
O enunciado pede o inverso multiplicativo de
no anel
, ou seja, o número
tal que
Passo 2
Para existir o inverso de
módulo
, é preciso que
. Como
é primo e
, de fato
então o inverso existe e é único em
.
Passo 3
Usamos o algoritmo de Euclides estendido para achar inteiros
tais que
Primeiro a divisão euclidiana sucessiva:
Passo 4
Agora voltamos substituindo para expressar 1 como combinação linear:
mas
, logo
Isso mostra que
satisfaz
. Em
, o inverso de
é o resto de
módulo
.