Verifique que
é uma norma em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação
define uma norma em
. O conteúdo aqui é a definição de norma e as propriedades do produto interno em espaços reais. Para isso precisamos verificar as três condições de norma:
- positividade e unicidade do zero;
- homogeneidade absoluta;
- desigualdade triangular.
Passo 2
Definimos a função
por
onde
é o produto interno usual em
. Vamos checar cada axioma de norma.
Passo 3
(Positividade e unicidade do zero)
Pelo produto interno em espaços reais temos sempre
Pelo produto interno em espaços reais temos sempre
com igualdade só se
. Então
e
implica
, logo
. Isso mostra o primeiro axioma.
Passo 4
(Homogeneidade absoluta)
Seja . Então
Seja
Isso prova a segunda propriedade.
Passo 5
(Desigualdade triangular)
Para quaisquer aplicamos o produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Para quaisquer
Daqui segue
o que é precisamente o terceiro axioma de norma.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três propriedades de norma em
e, assim, é de fato uma norma.