Verifique que
|x|=raizlang<= x, xrang<=
é uma norma em R^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a aplicação
|x| = raizlang<= x,xrang<=
define uma norma em R^4. O conteúdo aqui é a definição de norma e as propriedades do produto interno em espaços reais. Para isso precisamos verificar as três condições de norma:
  1. positividade e unicidade do zero;
  2. homogeneidade absoluta;
  3. desigualdade triangular.

Passo 2

Definimos a função |cdot|colon R^4 to R por
|x| = raizlang<= x,xrang<=,
onde lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 é o produto interno usual em R^4. Vamos checar cada axioma de norma.

Passo 3

(Positividade e unicidade do zero)
Pelo produto interno em espaços reais temos sempre
lang<= x,xrang<= >= 0,
com igualdade só se x=0. Então
|x| = raizlang<= x,xrang<= >= 0,
e |x|=0 implica lang<= x,xrang<==0, logo x=0. Isso mostra o primeiro axioma.

Passo 4

(Homogeneidade absoluta)
Seja alphainR. Então
|alpha x| = raizlang<= alpha x,alpha xrang<= = raizalpha^2lang<= x,xrang<= = |alpha|,raizlang<= x,xrang<= = |alpha|,|x|
Isso prova a segunda propriedade.

Passo 5

(Desigualdade triangular)
Para quaisquer x,yinR^4 aplicamos o produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
|x+y|^2 = lang<= x+y,,x+yrang<= = |x|^2 + 2lang<= x,yrang<= + |y|^2 <= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2
Daqui segue
|x+y| <= |x| + |y|,
o que é precisamente o terceiro axioma de norma.

Resposta

Portanto, |x| = raizlang<= x,xrang<= satisfaz as três propriedades de norma em R^4 e, assim, é de fato uma norma.

Exercícios relacionados