Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=9.
7^-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inverso multiplicativo de 7 na multiplicação módulo 9. Sabemos que um elemento a tem inverso módulo n se, e somente se, gcd(a,n)=1. Para achar esse inverso vamos usar o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 2

Verificamos que gcd(7,9)=1, logo o inverso existe. Precisamos resolver
7x equiv 1 pmod9

Passo 3

Aplicamos o algoritmo de Euclides para expressar 1 como combinação linear de 7 e 9:
9 = 7cdot1 + 2, 7 = 2cdot3 + 1, 2 = 1cdot2 + 0
Agora fazemos a volta:
1 = 7 - 2cdot3,
2 = 9 - 7cdot1,
logo
1 = 7 - 3(9 - 7) = 4cdot7 - 3cdot9
Isso mostra que 4 é o coeficiente de 7 na combinação linear que gera 1.

Passo 4

Da expressão
4cdot7 + (-3)cdot9 = 1
vemos que
7cdot4 equiv 1 pmod9
Portanto o inverso de 7 em módulo 9 é
7^-1 equiv 4 pmod9
Conferindo, 7cdot4=28equiv1pmod9, como queríamos.

Resposta

4

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