Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=9.
4^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 4 no anel Z9 (operações módulo 9). Para isso, precisamos encontrar x tal que
4x equiv 1 pmod9

Passo 2

Primeiro, verificamos se 4 é invertível módulo 9 calculando o máximo divisor comum:
gcd(4,9)=1
Como o gcd é 1, existe inverso de 4 em Z9.

Passo 3

Usamos o algoritmo de Euclides estendido para achar inteiros s,t tais que
4s + 9t = 1
Começamos dividindo:
9 = 4 cdot 2 + 1,
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1 = 9 - 4cdot2
Isso mostra que podemos tomar s=-2 e t=1, pois
4cdot(-2) + 9cdot1 = 1

Passo 4

O coeficiente s=-2 é uma solução para 4sequiv1pmod9. Em Z9 tomamos esse valor módulo 9:
-2 equiv 7 pmod9
Portanto, o inverso de 4 é 7.

Resposta

O inverso de 4 módulo 9 é 7.

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