Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
6^-1

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar o inverso multiplicativo de 6 no anel Z11, ou seja, achar um inteiro x tal que
6x equiv 1 pmod11
Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos dá coeficientes de Bézout de 6 e 11.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides a 11 e 6, temos
11 = 6cdot1 + 5, 6 = 5cdot1 + 1, 5 = 1cdot5 + 0
Agora voltamos para expressar o resto 1 como combinação linear de 11 e 6:
1 = 6 - 5cdot1 = 6 - l(11 - 6cdot1r) = 6cdot2 - 11cdot1
Isso mostra que
6cdot2 - 11cdot1 = 1 Longrightarrow 6cdot2 equiv 1 pmod11,
logo o inverso de 6 em Z11 é 2.

Resposta

2

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