Na multiplicação módulo
(onde
é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando
.
Determine os seguintes inversos quando
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o inverso multiplicativo de
no anel
(multiplicação módulo 11). Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides estendido, que nos permite resolver a equação diofantina
cuja solução
dará o inverso de
módulo
.
Passo 2
Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular
e expressar o resto 1 como combinação linear:
Isso mostra que
isto é,
é uma solução da equação
.
Passo 3
Como trabalhamos em
, podemos tomar o representante positivo de
módulo 11:
Logo o inverso de
em
é
.
Passo 4
Verificação rápida:
confirmando que
é de fato o inverso de
.
Resposta
O inverso de
em
é
.