Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
2^-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inverso multiplicativo de 2 no anel Z11 (multiplicação módulo 11). Para isso, vamos usar o algoritmo de Euclides estendido, que nos permite resolver a equação diofantina
2x + 11y = 1,
cuja solução x dará o inverso de 2 módulo 11.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular gcd(2,11) e expressar o resto 1 como combinação linear:
11 = 2 cdot 5 + 1 Longrightarrow 1 = 11 - 2 cdot 5
Isso mostra que
2 cdot (-5) + 11 cdot 1 = 1,
isto é, x = -5 é uma solução da equação 2x equiv 1 pmod11.

Passo 3

Como trabalhamos em Z11, podemos tomar o representante positivo de -5 módulo 11:
-5 equiv 11 - 5 = 6 pmod11
Logo o inverso de 2 em Z11 é 6.

Passo 4

Verificação rápida:
2 cdot 6 = 12 equiv 1 pmod11,
confirmando que 6 é de fato o inverso de 2.

Resposta

O inverso de 2 em Z11 é 6.

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