Multiplicando por fator da integração 
  transforme as equações diferenciais às exatas e resolva 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a equação diferencial 
  em uma equação exata, utilizando o fator de integração 
 . Depois disso, temos que resolver a equação exata encontrada. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar um fator de integração.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial exata é da forma 
 , onde existe uma função 
  tal que 
 . Isso significa que as derivadas parciais de 
  satisfazem 
  e 
 . Para a equação ser exata, deve valer 
 .
Passo 3
No nosso caso, a equação inicial é 
 . Podemos reescrever isso como 
 , onde:
Vamos verificar se a equação é exata:
Como 
 , a equação não é exata. Por isso, precisamos usar o fator de integração 
  para torná-la exata.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator de integração:
Substituindo 
 :
Simplificando as frações:
Vamos simplificar mais:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata. Definimos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como 
 , a equação é exata agora.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função 
  tal que:
Integrando 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função de 
  que aparece na integração.
Passo 7
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
  com 
 :
Simplificando:
Integrando 
  em relação a 
 :
Onde 
  é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo 
  na expressão de 
 :
Como estamos resolvendo a equação 
 , podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde 
  é uma constante arbitrária.