Resolva o problema de valor inicial para equação de Clairaut 
  Verifique se exista uma solução singular que satisfaz este problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação de Clairaut:
E nos pede para resolver o problema de valor inicial com a condição 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação de Clairaut e como encontrar suas soluções geral e singular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação está na forma padrão da equação de Clairaut:
Aqui, 
 . A solução geral de uma equação de Clairaut é dada por:
onde 
  é a derivada de 
  em relação a 
 .
Passo 3
Vamos substituir 
  na solução geral:
Como estamos resolvendo um problema de valor inicial com 
 , substituímos 
  e 
  na equação:
Simplificando:
Então, 
 . Agora, substituímos 
  de volta na solução geral:
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe uma solução singular que também satisfaz o problema de valor inicial. A solução singular de uma equação de Clairaut é encontrada encontrando o envelope das soluções gerais. Para isso, derivamos a equação geral em relação a 
 :
Substituímos 
  na equação geral:
Agora, expressamos 
  em termos de 
 :
Substituindo na equação de 
 :
Mas, para 
 , 
  não está definido. Então, a solução singular não satisfaz a condição inicial 
 .
Resposta
A solução que satisfaz o problema de valor inicial é:
Não existe uma solução singular que atende a condição 
 .