QUESTÃO 1 (VALOR: 4 PONTOS)
Considere as matrizes A in R^2 times 2, B in R^2 times 2, C in R^2 times 3 e D in R^3 times 2. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo como verdadeiros ( V ) ou falsos ( F ):
I. ( ) Se A é invertivel, então existe uma matriz A^-1 tal que A A^-1=A^-1 A=I2^prime, onde I2 E a matriz identidade de ordem 2 .
II. ( ) A multiplicação C cdot D é definida e resulta em uma matriz de ordem 2 times 2.
III. ( ) Se A cdot B=B cdot A, entảo as matrizes A e B comutam entre sí.
IV. () Para quaisquer matrizes A in B de mesma ordem, vale a igualdade
(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! A gente tem algumas matrizes de diferentes dimensões e precisa julgar se quatro afirmações sobre elas são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes como inversibilidade, multiplicação, comutatividade e propriedades de soma e produto de matrizes.

Passo 2

Item I: Se A é invertível, então existe uma matriz A^-1 tal que A A^-1=A^-1 A=I2, onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.
Teoria: Uma matriz quadrada A é invertível se existe outra matriz A^-1 tal que quando multiplicamos A por A^-1 (em qualquer ordem), o resultado é a matriz identidade I.
Aplicação: Como A é uma matriz 2 times 2 e é invertível, por definição, existe essa matriz inversa A^-1 que satisfaz A A^-1 = A^-1 A = I2.
Conclusão: Verdadeiro (V).

Passo 3

Item II: A multiplicação C cdot D é definida e resulta em uma matriz de ordem 2 times 2.
Teoria: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Aplicação: C é 2 times 3 e D é 3 times 2. Como o número de colunas de C (3) é igual ao número de linhas de D (3), a multiplicação C cdot D é definida. O resultado será uma matriz com 2 linhas e 2 colunas, ou seja, 2 times 2.
Conclusão: Verdadeiro (V).

Passo 4

Item III: Se A cdot B = B cdot A, então as matrizes A e B comutam entre si.
Teoria: Duas matrizes A e B comutam entre si se A cdot B = B cdot A.
Aplicação: A afirmação está basicamente definindo o que significa comutatividade para matrizes. Se a multiplicação A cdot B é igual a B cdot A, então por definição, elas comutam.
Conclusão: Verdadeiro (V).

Passo 5

Item IV: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, vale a igualdade
(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2
Teoria: No caso de números, essa identidade é verdadeira. Porém, para matrizes, a multiplicação não é comutativa em geral, ou seja, A B pode não ser igual a B A. Portanto, a expansão correta seria:
(A+B)^2 = A^2 + A B + B A + B^2
A expressão A^2 + 2 A B + B^2 só seria válida se A e B comutassem ( A B = B A).
Aplicação: Como não temos garantia de que A e B comutam, a igualdade apresentada não é necessariamente verdadeira para quaisquer matrizes de mesma ordem.
Conclusão: Falso (F).

Resposta

I. V
II. V
III. V
IV. F

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