QUESTÃO 1 (VALOR: 4 PONTOS)
Considere as matrizes
e
. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo como verdadeiros (
) ou falsos (
):
I. ( ) Se
é invertivel, então existe uma matriz
tal que
, onde
a matriz identidade de ordem 2 .
II. ( ) A multiplicação
é definida e resulta em uma matriz de ordem
.
III. ( ) Se
, entảo as matrizes A e B comutam entre sí.
IV. () Para quaisquer matrizes
de mesma ordem, vale a igualdade
Considere as matrizes
I. ( ) Se
II. ( ) A multiplicação
III. ( ) Se
IV. () Para quaisquer matrizes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! A gente tem algumas matrizes de diferentes dimensões e precisa julgar se quatro afirmações sobre elas são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes como inversibilidade, multiplicação, comutatividade e propriedades de soma e produto de matrizes.
Passo 2
Item I: Se
é invertível, então existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade de ordem 2.
Teoria: Uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz
tal que quando multiplicamos
por
(em qualquer ordem), o resultado é a matriz identidade
.
Aplicação: Como
é uma matriz
e é invertível, por definição, existe essa matriz inversa
que satisfaz
.
Conclusão: Verdadeiro (V).
Passo 3
Item II: A multiplicação
é definida e resulta em uma matriz de ordem
.
Teoria: Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Aplicação:
é
e
é
. Como o número de colunas de
(3) é igual ao número de linhas de
(3), a multiplicação
é definida. O resultado será uma matriz com 2 linhas e 2 colunas, ou seja,
.
Conclusão: Verdadeiro (V).
Passo 4
Item III: Se
, então as matrizes
e
comutam entre si.
Teoria: Duas matrizes
e
comutam entre si se
.
Aplicação: A afirmação está basicamente definindo o que significa comutatividade para matrizes. Se a multiplicação
é igual a
, então por definição, elas comutam.
Conclusão: Verdadeiro (V).
Passo 5
Item IV: Para quaisquer matrizes
e
de mesma ordem, vale a igualdade
Teoria: No caso de números, essa identidade é verdadeira. Porém, para matrizes, a multiplicação não é comutativa em geral, ou seja,
pode não ser igual a
. Portanto, a expansão correta seria:
A expressão
só seria válida se
e
comutassem (
).
Aplicação: Como não temos garantia de que
e
comutam, a igualdade apresentada não é necessariamente verdadeira para quaisquer matrizes de mesma ordem.
Conclusão: Falso (F).
Resposta
I. V
II. V
III. V
IV. F
II. V
III. V
IV. F