Um músico afina a corda C dó do seu instrumento para uma frequência fundamental igual a 65,4 Hz. O comprimento da seção da corda que vibra é igual a 0,8 m e a massa é igual a 20,64 g. b Qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65,4 Hz para 73,4 Hz, correspondendo dessa forma ao aumento da altura da nota C para D ré?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Um músico ajusta a corda C dó do seu instrumento com uma frequência fundamental de 65,4 Hz. A parte da corda que vibra tem um comprimento de 0,8 metros e uma massa de 20,64 gramas. Queremos descobrir qual deve ser o aumento percentual da tensão da corda para que a frequência aumente de 65,4 Hz para 73,4 Hz, correspondendo à mudança da nota C para D ré.
Matéria Envolvida:
  • Física das ondas em cordas vibrantes.
  • Relação entre frequência, tensão e densidade linear da corda.
O que Precisamos:
  • Entender a fórmula que relaciona frequência, tensão e densidade linear.
  • Calcular a densidade linear da corda.
  • Determinar a nova tensão necessária para a frequência desejada.
  • Encontrar o aumento percentual da tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a frequência fundamental ($ f f L L ã T T \mu $) da corda:
mu
Explicação:
  • $ f $ é a frequência da nota produzida.
  • $ L $ é o comprimento da corda que está vibrando.
  • $ T $ é a tensão da corda.
  • $ \mu $ é a densidade linear da corda, ou seja, a massa por unidade de comprimento.

Passo 3

Vamos calcular a densidade linear ($ \mu mu m m L $) fornecidos.
Primeiro, convertemos a massa de gramas para quilogramas:
L
Agora, calculamos $ \mu $:
m = 20,64 g = 0,02064 kg

Passo 4

Com a fórmula da frequência, podemos isolara tensão ($ T $):
T
Explicação:
Rearranjamos a fórmula para resolver $ T $ em função dos outros parâmetros.

Passo 5

Vamos calcular a tensão inicial ($ T_1 $) para a frequência inicial de 65,4 Hz:
T1
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
T1 = mu (2L f1)^2 = 0,0258 kg/m times (2 times 0,8 m times 65,4 Hz)^2
Agora, elevamos ao quadrado:
2 times 0,8 times 65,4 = 104,64
Finalmente, multiplicamos pela densidade linear:
104,64^2 = 10.947,3

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão necessária ($ T_2 $) para a nova frequência de 73,4 Hz usando a mesma fórmula:
T2
Calculando dentro dos parênteses:
T2 = mu (2L f2)^2 = 0,0258 kg/m times (2 times 0,8 m times 73,4 Hz)^2
Elevando ao quadrado:
2 times 0,8 times 73,4 = 117,44
Multiplicando pela densidade linear:
117,44^2 = 13.785,3

Passo 7

Para encontrar o aumento percentual da tensão, usamos a fórmula:
Aumento Percentual = ( T2 - T1T1 ) times 100%
Substituindo os valores:
Aumento Percentual = ( 355,1 - 282,2282,2 ) times 100% approx ( 72,9282,2 ) times 100% approx 25,8%

Resposta

O aumento percentual necessário da tensão é de aproximadamente 25,8%.

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