Um músico afina a corda C dó do seu instrumento para uma frequência fundamental igual a 65,4 Hz. O comprimento da seção da corda que vibra é igual a
e a massa é igual a 20,64 g. b Qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de
para
, correspondendo dessa forma ao aumento da altura da nota C para D ré?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Um músico ajusta a corda C dó do seu instrumento com uma frequência fundamental de 65,4 Hz. A parte da corda que vibra tem um comprimento de 0,8 metros e uma massa de 20,64 gramas. Queremos descobrir qual deve ser o aumento percentual da tensão da corda para que a frequência aumente de 65,4 Hz para 73,4 Hz, correspondendo à mudança da nota C para D ré.
Um músico ajusta a corda C dó do seu instrumento com uma frequência fundamental de 65,4 Hz. A parte da corda que vibra tem um comprimento de 0,8 metros e uma massa de 20,64 gramas. Queremos descobrir qual deve ser o aumento percentual da tensão da corda para que a frequência aumente de 65,4 Hz para 73,4 Hz, correspondendo à mudança da nota C para D ré.
Matéria Envolvida:
- Física das ondas em cordas vibrantes.
- Relação entre frequência, tensão e densidade linear da corda.
O que Precisamos:
- Entender a fórmula que relaciona frequência, tensão e densidade linear.
- Calcular a densidade linear da corda.
- Determinar a nova tensão necessária para a frequência desejada.
- Encontrar o aumento percentual da tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a frequência fundamental ($ f
L
T
\mu $) da corda:
Explicação:
- $ f $ é a frequência da nota produzida.
- $ L $ é o comprimento da corda que está vibrando.
- $ T $ é a tensão da corda.
- $ \mu $ é a densidade linear da corda, ou seja, a massa por unidade de comprimento.
Passo 3
Vamos calcular a densidade linear ($ \mu
m
L $) fornecidos.
Primeiro, convertemos a massa de gramas para quilogramas:
Agora, calculamos $ \mu $:
Passo 4
Com a fórmula da frequência, podemos isolara tensão ($ T $):
Explicação:
Rearranjamos a fórmula para resolver $ T $ em função dos outros parâmetros.
Rearranjamos a fórmula para resolver $ T $ em função dos outros parâmetros.
Passo 5
Vamos calcular a tensão inicial ($ T_1 $) para a frequência inicial de 65,4 Hz:
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
Agora, elevamos ao quadrado:
Finalmente, multiplicamos pela densidade linear:
Passo 6
Agora, vamos calcular a tensão necessária ($ T_2 $) para a nova frequência de 73,4 Hz usando a mesma fórmula:
Calculando dentro dos parênteses:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando pela densidade linear:
Passo 7
Para encontrar o aumento percentual da tensão, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O aumento percentual necessário da tensão é de aproximadamente 25,8%.