Seleciona-se ao acaso um ponto
em um diâmetro
de uma circunferência. Qual a probabilidade da corda que contém
e é perpendicular a
ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a probabilidade de uma corda perpendicular a um diâmetro
de uma circunferência ser maior que o lado de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria de circunferências, propriedades de triângulos equiláteros e, claro, cálculos de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um triângulo equilátero inscrito na circunferência. Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais a
. Quando ele está inscrito na circunferência, cada vértice toca a circunferência. Isso significa que cada lado do triângulo é a corda da circunferência que subtende um ângulo de
ao centro.
Passo 3
Vamos supor que a circunferência tenha raio
. O comprimento de um lado do triângulo equilátero inscrito pode ser calculado usando a fórmula da corda:
Onde
é o ângulo central correspondente à corda. Para o triângulo equilátero,
, então:
Então, cada lado do triângulo equilátero tem comprimento igual a
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que uma corda perpendicular ao diâmetro
passando por um ponto
selecionado aleatoriamente em
tenha comprimento maior que
.
Acorda que podemos expressar o comprimento da corda em função da distância de
ao centro da circunferência. Vamos chamar a distância do ponto
ao centro
de
. Assim,
varia de
a
(já que estamos considerando apenas a metade do diâmetro para simplificar, já que a distribuição é simétrica).
Passo 5
Usando novamente a fórmula da corda, o comprimento da corda perpendicular a
passando por
é:
Queremos que esse comprimento seja maior que
:
Passo 6
Vamos resolver a inequação:
Como estamos considerando
positivo, temos:
Passo 7
A probabilidade é a razão entre o intervalo de valores de
que satisfazem a condição e o intervalo total possível de
. O intervalo total de
vai de
a
, e o intervalo que satisfaz
é
.
Então, a probabilidade
é:
Resposta
A probabilidade é igual a
, ou seja, aproximadamente 86,6 %.