Seleciona-se ao acaso um ponto X em um diâmetro A B de uma circunferência. Qual a probabilidade da corda que contém X e é perpendicular a A B ter comprimento maior do que o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a probabilidade de uma corda perpendicular a um diâmetro AB de uma circunferência ser maior que o lado de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria de circunferências, propriedades de triângulos equiláteros e, claro, cálculos de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um triângulo equilátero inscrito na circunferência. Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais a 60^circ. Quando ele está inscrito na circunferência, cada vértice toca a circunferência. Isso significa que cada lado do triângulo é a corda da circunferência que subtende um ângulo de 60^circ ao centro.

Passo 3

Vamos supor que a circunferência tenha raio R. O comprimento de um lado do triângulo equilátero inscrito pode ser calculado usando a fórmula da corda:
Comprimento da corda = 2R sin(theta2)
Onde theta é o ângulo central correspondente à corda. Para o triângulo equilátero, theta = 60^circ, então:
Comprimento da corda do triângulo = 2R sin(30^circ) = 2R times 0,5 = R â
Então, cada lado do triângulo equilátero tem comprimento igual a R.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que uma corda perpendicular ao diâmetro AB passando por um ponto X selecionado aleatoriamente em AB tenha comprimento maior que R.
Acorda que podemos expressar o comprimento da corda em função da distância de X ao centro da circunferência. Vamos chamar a distância do ponto X ao centro O de x. Assim, x varia de 0 a R (já que estamos considerando apenas a metade do diâmetro para simplificar, já que a distribuição é simétrica).

Passo 5

Usando novamente a fórmula da corda, o comprimento da corda perpendicular a AB passando por X é:
Comprimento da corda = 2 raizR^2 - x^2
Queremos que esse comprimento seja maior que R:
2 raizR^2 - x^2 > R

Passo 6

Vamos resolver a inequação:
2 raizR^2 - x^2 > R raizR^2 - x^2 > R2 R^2 - x^2 > (R2)^2 R^2 - x^2 > R^24 - x^2 > R^24 - R^2 - x^2 > -3R^24 x^2 < 3R^24 |x| < raiz3R2
Como estamos considerando x positivo, temos:
x < raiz3R2

Passo 7

A probabilidade é a razão entre o intervalo de valores de x que satisfazem a condição e o intervalo total possível de x. O intervalo total de x vai de 0 a R, e o intervalo que satisfaz x < raiz3R2 é raiz3R2.
Então, a probabilidade P é:
P = raiz3R2R = raiz32

Resposta

A probabilidade é igual a dfracraiz32 approx 0,866, ou seja, aproximadamente 86,6 %.

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