QUESTÃO - Seja a seguinte equação de Bernoulli:
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Encontre a sua solução geral;
c) Supondo que ela descreva a posição de um móvel que se desloca sobre o plano cartesiano de modo que, quando ele passa pela abscissa
, ele se encontra na ordenada
. Qual será, então, a curva do plano que descreve o traço da trajetória
versus
? Mostre se tal curva é fechada ou aberta.
b) Encontre a sua solução geral;
c) Supondo que ela descreva a posição de um móvel que se desloca sobre o plano cartesiano de modo que, quando ele passa pela abscissa
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
e pede:
a) soluções constantes;
b) solução geral;
c) com , encontrar a curva
e dizer se ela é fechada ou aberta.
a) soluções constantes;
b) solução geral;
c) com
Passo 2
Para testar soluções constantes, suponha
com
. Então
e a equação vira
Mas o lado direito depende de
enquanto o esquerdo é constante, o que não pode ocorrer para todo
. Logo, não há soluções constantes.
Passo 3
Reescrevemos em forma de Bernoulli:
onde
. Definimos a transformação
Então
Multiplicando a equação original por
obtemos
Passo 4
A equação linear em
,
tem fator integrante
. Multiplicando e integrando:
Por partes
, logo
Passo 5
Voltando a
, temos
Passo 6
Usando
,
Logo o ramo compatível é
Passo 7
A curva traçada por
é um ramo aberto, pois o radicando cresce sem bound para
(e deixa de ser não-negativo antes de ir a
), não fechando nenhum laço.
Resposta
a) Não existem soluções constantes.
b) .
c) Com ,
b)
c) Com
e a curva é aberta.