(1^{\text {a }}) QUESTÃO - Seja a seguinte equação de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}=5 y-\frac{4 x}{y}, \quad y \neq 0
a) Prove se existem ou não soluções constantes para ela;
b) Encontre a sua solução geral;
c) Supondo que ela descreva a posição de um móvel que se desloca sobre o plano cartesiano de modo que, quando ele passa pela abscissa x=0 \mathrm{~m}, ele se encontra na ordenada y=\sqrt{27} / 5 \mathrm{~m}. Qual será, então, a curva do plano que descreve o traço da trajetória y versus x ? Mostre se tal curva é fechada ou aberta.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx}=5y-\frac{4x}{y},\quad y\neq0
e pede:
a) soluções constantes;
b) solução geral;
c) com y(0)=\sqrt{27}/5, encontrar a curva y(x) e dizer se ela é fechada ou aberta.

Passo 2

Para testar soluções constantes, suponha y=c com c\neq0. Então \tfrac{dy}{dx}=0 e a equação vira
0=5c-\frac{4x}{c}\,\Rightarrow\,5c^2=4x.
Mas o lado direito depende de x enquanto o esquerdo é constante, o que não pode ocorrer para todo x. Logo, não há soluções constantes.

Passo 3

Reescrevemos em forma de Bernoulli:
\frac{dy}{dx}-5y=-4x\,y^{-1},
onde n=-1. Definimos a transformação
u=y^{1-n}=y^2.
Então
\frac{du}{dx}=2y\frac{dy}{dx}.
Multiplicando a equação original por y obtemos
y\frac{dy}{dx}-5y^2=-4x \;\Rightarrow\;\frac12\frac{du}{dx}-5u=-4x \;\Rightarrow\;\frac{du}{dx}-10u=-8x.

Passo 4

A equação linear em u,
\frac{du}{dx}-10u=-8x,
tem fator integrante \mu(x)=e^{-10x}. Multiplicando e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-10x}\bigr) =-8x\,e^{-10x} \;\Rightarrow\; u\,e^{-10x}=\int -8x\,e^{-10x}\,dx+C.
Por partes \displaystyle\int x\,e^{-10x}dx=-\frac{10x+1}{100}e^{-10x}, logo
u\,e^{-10x} =\frac{80x+8}{100}e^{-10x}+C \;\Rightarrow\; u=\frac{80x+8}{100}+C\,e^{10x} =\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C\,e^{10x}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^2 =\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C\,e^{10x} \;\Rightarrow\; y=\pm\sqrt{\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C\,e^{10x}}.

Passo 6

Usando y(0)=\sqrt{27}/5,
\Bigl(\tfrac{\sqrt{27}}{5}\Bigr)^2 =\frac{27}{25} =\frac{2}{25}+C \;\Rightarrow\; C=1.
Logo o ramo compatível é
y(x)=\sqrt{\,e^{10x}+\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}\,}.

Passo 7

A curva traçada por
y(x)=\sqrt{\,e^{10x}+\tfrac{4}{5}x+\tfrac{2}{25}\,}
é um ramo aberto, pois o radicando cresce sem bound para x\to+\infty (e deixa de ser não-negativo antes de ir a -\infty), não fechando nenhum laço.

Resposta

a) Não existem soluções constantes.
b) y=\pm\sqrt{\tfrac{4}{5}x+\tfrac{2}{25}+C\,e^{10x}}.
c) Com y(0)=\sqrt{27}/5,
y(x)=\sqrt{\,e^{10x}+\tfrac{4}{5}x+\tfrac{2}{25}\,},
e a curva é aberta.

Exercícios relacionados