Quando n não é primo, devemos ter um cuidado maior ao resolvermos um sistema linear em Z / n Z. Em Z / 6 Z, resolva o sistema dado por 2 x+3 y=4 e 4 x+3 y=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em
Aqui não podemos simplesmente inverter coeficientes, pois .

Passo 2

Escrevendo as duas equações e subtraindo a primeira da segunda, obtemos
(4-2),x + (3-3),y ;=;2-4,
ou seja
2,x = -2 = 4

Passo 3

Para resolver
2,x = 4
em Z/6Z, notamos que gcd(2,6)=2 e 2 divide 4, então há exatamente 2 soluções módulo 6. Em congruência pura:
2x equiv 4 pmod6 Long<=ftrightarrow x equiv 2 pmod3
Isso dá
x in 2,;5

Passo 4

Agora substituímos cada valor de x em
2,x + 3,y = 4
Como para nossas soluções 2,x = 4, a equação vira
4 + 3,y = 4 Longrightarrow 3,y = 0
Em Z/6Z, gcd(3,6)=3 e 3 divide 0, logo existem tfrac63=2 graus de liberdade em y, isto é
y equiv 0 pmod2 Longrightarrow y in 0,;2,;4

Passo 5

Uma rápida checagem na segunda equação
4,x + 3,y = 2
mostra que, para xin2,5 e yin0,2,4, ela se reduz à mesma condição 3,y=0. Logo não há restrição extra.

Resposta

As soluções do sistema em Z/6Z são
x in 2,,5, y in 0,,2,,4

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