Para quais valores de a, b as equações a seguir têm solução?
x+a=0, x+a=b, a x=1 em F5

Passo 1

Resumindo: temos o sistema em
Queremos os valores de tais que exista satisfazendo todas as três equações.

Passo 2

Das duas primeiras equações temos
x + a = 0 e x + a = b
Para que ambas sejam verdadeiras, os lados direitos devem coincidir, ou seja, 0 = b. Logo
b = 0

Passo 3

Com b=0, da primeira equação segue
x + a = 0 Longrightarrow x = -a (em F5,;-a=5-a)

Passo 4

Substituindo x=-a na terceira equação a,x=1 obtemos
acdot(-a) = 1 Longrightarrow -,a^2 = 1 Longrightarrow a^2 = -1 = 4(em F5)

Passo 5

Procuramos ainF5 tal que a^2=4. Testando os elementos:
0^2=0,;1^2=1,;2^2=4,;3^2=9equiv4,;4^2=16equiv1pmod5
Logo as soluções são a=2 ou a=3.

Resposta

Os pares (a,b) em F5timesF5 para os quais o sistema tem solução são
(a,b) = (2,0)e (3,0)

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