Para quais valores de a, b as equações a seguir têm solução?
x+a=0, x+a=b, a x=1 em Z / 6 Z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os a,binZ/6Z tais que exista xinZ/6Z satisfazendo simultaneamente
x + a = 0, x + a = b, a,x = 1
O conteúdo é resolução de sistemas lineares em anéis com divisores de zero.

Passo 2

Da primeira equação temos
x + a = 0 Longrightarrow x = -a
em Z/6Z.

Passo 3

Substituindo x=-a na segunda equação x + a = b obtemos
(-a) + a = 0 = b,
logo é necessário e suficiente que
b = 0
para haver solução.

Passo 4

Ainda com x=-a, a terceira equação a,x = 1 vira
a,( -a ) = -a^2 = 1 Longrightarrow a^2 = -1 = 5 (bmod 6)

Passo 5

Agora basta testar todos os ain0,1,2,3,4,5 em Z/6Z para ver se a^2equiv5. Calculamos:
0^2=0,; 1^2=1,; 2^2=4,; 3^2=3,; 4^2=4,; 5^2=1 (bmod6),
nenhum é congruente a 5.

Passo 6

Como não existe a com a^2equiv5pmod6, o sistema não admite solução para nenhum par (a,b).

Resposta

Não há valores de a,binZ/6Z que tornem o sistema simultaneamente satisfazível.

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