Sempre haverá ângulo entre dois planos?

Passo 1

O enunciado pergunta se sempre existe um ângulo entre dois planos no espaço. Esse é um tópico de geometria analítica: para resolver, vamos usar a definição de ângulo entre planos com base nos vetores normais a cada plano.

Passo 2

Sejam dois planos P1 e P2 cujos vetores normais sejam n1 e n2, respectivamente. Esses vetores são não nulos e definem a direção perpendicular de cada plano. Lembrando que o produto escalar satisfaz
n1cdotn2 = |n1|;|n2|costheta,
onde theta é o ângulo entre n1 e n2.

Passo 3

Definimos o ângulo entre os planos como o ângulo agudo entre seus normais. Assim,
theta ;=;arccos!gl(l|n1cdotn2r||n1|;|n2|gr)
Esse valor está sempre bem definido porque |n1| e |n2| são positivos (normais não são vetores nulos) e
l|n1cdotn2r|/(|n1||n2|)in[0,1].

Passo 4

Portanto, entre quaisquer dois planos há sempre um ângulo theta com
0 ;<=;theta;<=;pi2
Em especial:
  • se n1paral<=ln2, então theta=0 (planos paralelos ou coincidentes);
  • se n1perpn2, então theta=pi2 (planos perpendiculares).

Resposta

Sim. Entre quaisquer dois planos do espaço existe sempre um ângulo bem definido, dado por
theta = arccos!gl(l|n1cdotn2r||n1|;|n2|gr),
com 0 <= theta <= tfracpi2.

Exercícios relacionados