Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
1+\left(\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{2}{5}\right)^{3}+\left(\frac{2}{5}\right)^{5}+\ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle 1 + \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr) + \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^3 + \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^4 + \cdots
e pede (1) os quatro primeiros termos, (2) verificar se ela converge e, em caso positivo, (3) calcular sua soma infinita. O conteúdo é “série geométrica”.

Passo 2

Identificamos que uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n
onde a é o primeiro termo e r a razão. Aqui a=1 e r=\tfrac{2}{5}.

Passo 3

Os quatro primeiros termos são
1,\quad \tfrac{2}{5},\quad \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2,\quad \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^3
ou, como números:
1,\;0{,}4,\;0{,}16,\;0{,}064.

Passo 4

Para uma série geométrica, o critério de convergência é \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert\tfrac{2}{5}\rvert=0{,}4<1, logo a série converge.

Passo 5

Quando converge, a soma infinita é
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=1 e r=\tfrac{2}{5},
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^n = \frac{1}{1 - \tfrac{2}{5}} = \frac{1}{\tfrac{3}{5}} = \frac{5}{3}.

Resposta

Quatro primeiros termos:
1,\;\frac{2}{5},\;\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2,\;\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^3.
A série converge porque \lvert r\rvert=0{,}4<1, e sua soma infinita é \displaystyle \tfrac{5}{3}.

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