Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque. \left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{5}+\ldots
Estamos no conteúdo de séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, listar os quatro primeiros termos, aplicar o critério de convergência para séries geométricas e, se convergir, usar a fórmula da soma infinita.
Passo 2
O primeiro termo é
a = \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2} = \tfrac{4}{9}
e a razão é
r = -\tfrac{2}{3}.
Os quatro primeiros termos da série são \tfrac{4}{9},\; -\tfrac{8}{27},\; \tfrac{16}{81},\; -\tfrac{32}{243}.
Passo 3
O critério de convergência para série geométrica \sum a\,r^{n-1} diz que converge se e somente se \lvert r\rvert < 1. Aqui
\bigl|-\tfrac{2}{3}\bigr| = \tfrac{2}{3} < 1,
portanto a série é convergente.
Passo 4
Para séries geométricas convergentes, a soma infinita é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a = \tfrac{4}{9} e r = -\tfrac{2}{3}, temos