Quando necessário, escreva os 4 primeiros termos e determine se série é convergente ou não e caso seja convergente calcule sua soma e caso seja divergente explique o porque.
\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{5}+\ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2} + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{3} + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{4} + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{5} + \cdots
Estamos no conteúdo de séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, listar os quatro primeiros termos, aplicar o critério de convergência para séries geométricas e, se convergir, usar a fórmula da soma infinita.

Passo 2

O primeiro termo é
a = \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2} = \tfrac{4}{9}
e a razão é
r = -\tfrac{2}{3}.
Os quatro primeiros termos da série são
\tfrac{4}{9},\; -\tfrac{8}{27},\; \tfrac{16}{81},\; -\tfrac{32}{243}.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica \sum a\,r^{n-1} diz que converge se e somente se \lvert r\rvert < 1. Aqui
\bigl|-\tfrac{2}{3}\bigr| = \tfrac{2}{3} < 1,
portanto a série é convergente.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma infinita é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a = \tfrac{4}{9} e r = -\tfrac{2}{3}, temos
S = \frac{\tfrac{4}{9}}{1 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)} = \frac{\tfrac{4}{9}}{1 + \tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{4}{9}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \tfrac{4}{15}.

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