É necessário JUSTIFICAR todas as passagens, respostas não acompanhadas de argumentos que as justifiquem NÃO serão consideradas.
Elabore e resolva uma questão que envolva os conceitos de dependência e independência linear (LI e LD).

Passo 1

Estamos trabalhando com o conceito de independência e dependência linear em R^3. A questão que elaboramos é: “Sejam os vetores
v1 = (1,0,2), v2 = (3,1,4), v3 = (5,4,t)
em R^3. Determine para quais valores de tinR o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente (LI) e para quais é linearmente dependente (LD). No caso LD, mostre explicitamente uma relação de dependência.”

Passo 2

Para verificar LI/LD em R^3 com três vetores, usamos o critério do determinante: formamos a matriz cujas colunas são os vetores v1,v2,v3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD. A matriz é
A = 1 & 3 & 5 0 & 1 & 4 2 & 4 & t

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando expansão pela primeira coluna para justificar cada termo, temos
det(A) = 1cdotdet1 & 44 & t - 0cdotdet3 & 54 & t + 2cdotdet3 & 51 & 4
O segundo termo desaparece pois multiplica zero.

Passo 4

Calculamos as matrizes menores:
det1 & 44 & t =1cdot t - 4cdot 4 = t -16, det3 & 51 & 4 =3cdot 4 -5cdot 1 =12 -5 =7
Logo,
det(A) = 1cdot(t-16) + 2cdot 7 = (t-16)+14 = t -2

Passo 5

Concluímos que
det(A) = t -2
Pelo critério do determinante:
  • Se t-2 neq 0, isto é t neq 2, então det(A)neq0 e v1,v2,v3 é LI.
  • Se t-2 = 0, isto é t=2, então det(A)=0 e v1,v2,v3 é LD.

Passo 6

No caso
Isto gera o sistema
Da segunda equação obtemos obtemos , , . Logo uma relação de dependência é

Resposta

Para tneq2, o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente.
Para t=2, o conjunto é linearmente dependente, pois
7,v1 -4,v2 +v3 = 0

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