Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos:
-
22.000,00$ de hoje a 2 meses;
- $ 57.000,00 de hoje a 5 meses;
-
90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do
mês e o segundo no
mês. Sendo de
ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitin-do-se as seguintes datas de comparação:
no vencimento do segundo pagamento proposto.
no vencimento do segundo pagamento proposto.
Passo 1
O enunciado pede que eu substitua três pagamentos por dois pagamentos iguais, mantendo a equivalência financeira quando a comparação for feita no vencimento do segundo pagamento proposto (ou seja, no final do 8.º mês). Informações dadas:
vence hoje a
meses.
vence hoje a
meses.
vence hoje a
meses.
Taxa de juros simples: ao mês.
Pagamentos propostos: dois pagamentos iguais, o primeiro no final do mês e o segundo no final do
mês.
Objetivo concreto: achar o valor de cada um dos dois pagamentos iguais, comparando tudo na data do segundo pagamento (mês ).
Taxa de juros simples:
Pagamentos propostos: dois pagamentos iguais, o primeiro no final do
Objetivo concreto: achar o valor de cada um dos dois pagamentos iguais, comparando tudo na data do segundo pagamento (mês
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar — juros simples e capitalização até a data de comparação. Em juros simples, o valor futuro
de um capital
aplicado por
períodos à taxa mensal
é dado por:
onde:
= capital inicial (valor do pagamento em sua data),
= taxa por período (aqui por mês,
),
= número de meses entre a data do pagamento e a data de comparação,
= valor do capital na data de comparação (futuro simples).
Vou aplicar essa fórmula a cada obrigação original para trazê-las ao mês .
Vou aplicar essa fórmula a cada obrigação original para trazê-las ao mês
Passo 3
Calcular o valor de cada dívida no mês
(uso os dados do enunciado para
e computo
como diferença de meses até o mês
).
Para
vencendo no mês
: distância até o mês
é
meses. Assim
Para
vencendo no mês
:
meses. Assim
Para
vencendo no mês
:
mês. Assim
Passo 4
Somar os valores futuros na data de comparação (mês
) para obter o total devido nessa data:
Ou seja, as três obrigações somam
quando avaliadas no final do mês
.
Passo 5
Agora representar os dois pagamentos propostos. Seja
o valor de cada um (ambos iguais). Avaliando no mês
:
- O pagamento no mês
precisa acumular juros simples por meses até o mês . Seu futuro é
- O pagamento no mês
já está na data de comparação, então seu futuro é simplesmente .
A condição de equivalência financeira é que a soma dos futuros dos dois pagamentos propostos seja igual ao total devido no mês
:
Passo 6
Resolver a equação para
. Somando os coeficientes:
Logo
Passo 7
Calcular numericamente
. Fazendo a divisão:
Arredondei para centavos (duas casas decimais), que é o formato monetário usual.
Passo 8
Interpretação final rápida e encorajamento: cada um dos dois pagamentos iguais deve ser de
— o primeiro pago no final do 6.º mês e o segundo no final do 8.º mês garante a equivalência com as três dívidas originais quando comparadas no vencimento do segundo pagamento (mês 8). Bom trabalho! Você já entendeu como transformar valores em uma mesma data usando juros simples — essa técnica aparece bastante em prova e é super útil.