Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos:
  • \ 22.000,00$ de hoje a 2 meses;
  • $ 57.000,00 de hoje a 5 meses;
  • \ 90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6^{\circ} mês e o segundo no 8^{\circ} mês. Sendo de 3,7 \% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitin-do-se as seguintes datas de comparação:
no vencimento do segundo pagamento proposto.

Passo 1

O enunciado pede que eu substitua três pagamentos por dois pagamentos iguais, mantendo a equivalência financeira quando a comparação for feita no vencimento do segundo pagamento proposto (ou seja, no final do 8.º mês). Informações dadas:
\$22.000,00 vence hoje a 2 meses.
\$57.000,00 vence hoje a 5 meses.
\$90.000,00 vence hoje a 7 meses.
Taxa de juros simples: 3,7\% ao mês.
Pagamentos propostos: dois pagamentos iguais, o primeiro no final do 6^{\circ} mês e o segundo no final do 8^{\circ} mês.
Objetivo concreto: achar o valor de cada um dos dois pagamentos iguais, comparando tudo na data do segundo pagamento (mês 8).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar — juros simples e capitalização até a data de comparação. Em juros simples, o valor futuro F de um capital C aplicado por n períodos à taxa mensal i é dado por:
F = C\,(1 + i\,n)
onde:
C = capital inicial (valor do pagamento em sua data),
i = taxa por período (aqui por mês, i=0,037),
n = número de meses entre a data do pagamento e a data de comparação,
F = valor do capital na data de comparação (futuro simples).
Vou aplicar essa fórmula a cada obrigação original para trazê-las ao mês 8.

Passo 3

Calcular o valor de cada dívida no mês 8 (uso os dados do enunciado para C e computo n como diferença de meses até o mês 8).
Para \$22.000 vencendo no mês 2: distância até o mês 8 é n=8-2=6 meses. Assim
F_1 = 22000\bigl(1 + 0{,}037\cdot 6\bigr) = 22000\bigl(1 + 0{,}222\bigr) = 22000\cdot 1{,}222 = 26884.
Para \$57.000 vencendo no mês 5: n=8-5=3 meses. Assim
F_2 = 57000\bigl(1 + 0{,}037\cdot 3\bigr) = 57000\bigl(1 + 0{,}111\bigr) = 57000\cdot 1{,}111 = 63327.
Para \$90.000 vencendo no mês 7: n=8-7=1 mês. Assim
F_3 = 90000\bigl(1 + 0{,}037\cdot 1\bigr) = 90000\cdot 1{,}037 = 93330.

Passo 4

Somar os valores futuros na data de comparação (mês 8) para obter o total devido nessa data:
F_{\text{total}} = F_1 + F_2 + F_3 = 26884 + 63327 + 93330 = 183541.
Ou seja, as três obrigações somam \, \$183541 quando avaliadas no final do mês 8.

Passo 5

Agora representar os dois pagamentos propostos. Seja X o valor de cada um (ambos iguais). Avaliando no mês 8:
  • O pagamento no mês 6 precisa acumular juros simples por 8-6=2 meses até o mês 8. Seu futuro é
F_{6} = X\bigl(1 + 0{,}037\cdot 2\bigr) = X\cdot\bigl(1 + 0{,}074\bigr) = X\cdot 1{,}074.
  • O pagamento no mês 8 já está na data de comparação, então seu futuro é simplesmente F_{8}=X.
A condição de equivalência financeira é que a soma dos futuros dos dois pagamentos propostos seja igual ao total devido no mês 8:
X\cdot 1{,}074 + X = 183541.

Passo 6

Resolver a equação para X. Somando os coeficientes:
X\bigl(1{,}074 + 1\bigr) = X\cdot 2{,}074 = 183541.
Logo
X = \frac{183541}{2{,}074}.

Passo 7

Calcular numericamente X. Fazendo a divisão:
X \approx 88496{,}14.
Arredondei para centavos (duas casas decimais), que é o formato monetário usual.

Passo 8

Interpretação final rápida e encorajamento: cada um dos dois pagamentos iguais deve ser de \$88.496,14 — o primeiro pago no final do 6.º mês e o segundo no final do 8.º mês garante a equivalência com as três dívidas originais quando comparadas no vencimento do segundo pagamento (mês 8). Bom trabalho! Você já entendeu como transformar valores em uma mesma data usando juros simples — essa técnica aparece bastante em prova e é super útil.

Resposta

\$88.496,14

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