Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\exists x)(\forall y)((\neg r(x) \rightarrow q(y)) \wedge p(x))

Passo 1

O enunciado pede para negar a sentença lógica abaixo. Vou escrever claramente o que foi dado e o que é pedido.
A sentença dada é:
(\exists x)(\forall y)\big((\neg r(x) \rightarrow q(y)) \wedge p(x)\big).
O que se pede:
  • Escrever a negação dessa sentença, transformando passo a passo cada quantificador e cada conectivo até obter uma fórmula equivalente que seja a negação correta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há um quantificador existencial externo: (\exists x).
  • Há um quantificador universal interno: (\forall y).
  • O corpo da fórmula é uma conjunção: (\neg r(x) \rightarrow q(y)) \wedge p(x).
  • As fórmulas atômicas envolvidas são r(x), q(y) e p(x).

Passo 2

Relembrando as regras de negação que vou usar (cada uma explicada de forma simples):
  1. Negação de quantificadores (Lei de De Morgan para quantificadores):
\neg(\exists x)\,A(x) \equiv (\forall x)\,\neg A(x), \qquad \neg(\forall x)\,A(x) \equiv (\exists x)\,\neg A(x).
Explicação rápida: negar “existe x tal que A” é dizer “para todo x, não A”; negar “para todo x, A” é dizer “existe algum x em que A não vale”.
  1. Negação de conjunção e disjunção (Leis de De Morgan clássicas):
\neg(A\wedge B)\equiv \neg A \vee \neg B, \qquad \neg(A\vee B)\equiv \neg A \wedge \neg B.
Explicação: a negação de “A e B” é “não A ou não B”.
  1. Negação de implicação:
\neg(A\rightarrow B)\equiv A \wedge \neg B.
Explicação: a implicação A\rightarrow B só é falsa quando A é verdadeiro e B é falso; portanto negar a implicação resulta nessa conjunção.
Vou aplicar essas regras em ordem, de fora para dentro, com justificativa em cada passo.

Passo 3

Negar a fórmula inteira aplicando a regra do quantificador existencial externo.
Temos inicialmente:
\neg\big[(\exists x)(\forall y)\big((\neg r(x)\rightarrow q(y))\wedge p(x)\big)\big].
Usando \neg(\exists x)A(x)\equiv(\forall x)\neg A(x), obtemos:
(\forall x)\neg\big[(\forall y)\big((\neg r(x)\rightarrow q(y))\wedge p(x)\big)\big].

Passo 4

Negar agora o quantificador universal interno que aparece dentro do parêntese. Aplicando \neg(\forall y)B(y)\equiv(\exists y)\neg B(y), temos:
A partir de
(\forall x)\neg\big[(\forall y)\big((\neg r(x)\rightarrow q(y))\wedge p(x)\big)\big]
obtemos
(\forall x)(\exists y)\neg\big((\neg r(x)\rightarrow q(y))\wedge p(x)\big).
Observação: o quantificador (\exists y) aparece porque negamos o (\forall y).

Passo 5

Negar a conjunção interna usando \neg(A\wedge B)\equiv\neg A \vee \neg B. Aqui A é (\neg r(x)\rightarrow q(y)) e B é p(x). Assim:
\neg\big((\neg r(x)\rightarrow q(y))\wedge p(x)\big) \equiv \neg(\neg r(x)\rightarrow q(y)) \vee \neg p(x).
Portanto a fórmula fica:
(\forall x)(\exists y)\big(\neg(\neg r(x)\rightarrow q(y)) \vee \neg p(x)\big).

Passo 6

Negar a implicação interna usando \neg(A\rightarrow B)\equiv A\wedge\neg B. Tomando A=\neg r(x) e B=q(y), obtemos:
\neg(\neg r(x)\rightarrow q(y)) \equiv \neg r(x) \wedge \neg q(y).
Substituindo na fórmula do passo anterior:
(\forall x)(\exists y)\big((\neg r(x) \wedge \neg q(y)) \vee \neg p(x)\big).
Essa já é uma forma correta e direta da negação da fórmula original.

Passo 7

Posso reescrever a disjunção interna numa ordem talvez mais natural (colocando \neg p(x) primeiro), mantendo a equivalência:
(\forall x)(\exists y)\big(\neg p(x) \vee (\neg r(x) \wedge \neg q(y))\big).
Comentário didático: essa fórmula diz, em palavras, “para todo x, existe algum y tal que ou p(x) é falso, ou (ao mesmo tempo) r(x) é falso e q(y) é falso”. Note que a parte \neg p(x) não depende de y.

Passo 8

Uma observação adicional (opcional) sobre movimentação de quantificadores quando uma parte não depende de y:
Como \neg p(x) não envolve y, a expressão
(\exists y)\big(\neg p(x) \vee (\neg r(x)\wedge \neg q(y))\big)
é equivalente a
\neg p(x) \vee (\exists y)(\neg r(x)\wedge \neg q(y)).
E, como \neg r(x) também não depende de y, tem-se a equivalência
(\exists y)(\neg r(x)\wedge \neg q(y)) \equiv \neg r(x)\wedge (\exists y)\neg q(y).
Assim outra forma equivalente é
(\forall x)\Big(\neg p(x) \vee \big(\neg r(x)\wedge (\exists y)\neg q(y)\big)\Big).
Essas reescritas são úteis para interpretação, mas todas as fórmulas mostradas são logicamente equivalentes à negação.

Resposta

(\forall x)(\exists y)\big(\neg p(x)\vee(\neg r(x)\wedge\neg q(y))\big)

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