Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O enunciado pede para negar a sentença lógica abaixo. Vou escrever claramente o que foi dado e o que é pedido.
A sentença dada é:
O que se pede:
- Escrever a negação dessa sentença, transformando passo a passo cada quantificador e cada conectivo até obter uma fórmula equivalente que seja a negação correta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há um quantificador existencial externo:
. - Há um quantificador universal interno:
. - O corpo da fórmula é uma conjunção:
. - As fórmulas atômicas envolvidas são
, e .
Passo 2
Relembrando as regras de negação que vou usar (cada uma explicada de forma simples):
- Negação de quantificadores (Lei de De Morgan para quantificadores):
Explicação rápida: negar “existe x tal que A” é dizer “para todo x, não A”; negar “para todo x, A” é dizer “existe algum x em que A não vale”.
- Negação de conjunção e disjunção (Leis de De Morgan clássicas):
Explicação: a negação de “A e B” é “não A ou não B”.
- Negação de implicação:
Explicação: a implicação
só é falsa quando
é verdadeiro e
é falso; portanto negar a implicação resulta nessa conjunção.
Vou aplicar essas regras em ordem, de fora para dentro, com justificativa em cada passo.
Passo 3
Negar a fórmula inteira aplicando a regra do quantificador existencial externo.
Temos inicialmente:
Usando
, obtemos:
Passo 4
Negar agora o quantificador universal interno que aparece dentro do parêntese. Aplicando
, temos:
A partir de
obtemos
Observação: o quantificador
aparece porque negamos o
.
Passo 5
Negar a conjunção interna usando
. Aqui
é
e
é
. Assim:
Portanto a fórmula fica:
Passo 6
Negar a implicação interna usando
. Tomando
e
, obtemos:
Substituindo na fórmula do passo anterior:
Essa já é uma forma correta e direta da negação da fórmula original.
Passo 7
Posso reescrever a disjunção interna numa ordem talvez mais natural (colocando
primeiro), mantendo a equivalência:
Comentário didático: essa fórmula diz, em palavras, “para todo
, existe algum
tal que ou
é falso, ou (ao mesmo tempo)
é falso e
é falso”. Note que a parte
não depende de
.
Passo 8
Uma observação adicional (opcional) sobre movimentação de quantificadores quando uma parte não depende de
:
Como
não envolve
, a expressão
é equivalente a
E, como
também não depende de
, tem-se a equivalência
Assim outra forma equivalente é
Essas reescritas são úteis para interpretação, mas todas as fórmulas mostradas são logicamente equivalentes à negação.