Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se: negar a sentença lógica com quantificadores dada.
- A sentença dada é:
- Informação relevante: a sentença é uma fórmula com um quantificador universal externo
, um quantificador existencial interno e uma ligação bicondicional entre as proposições e .
Passo 2
Regra básica para negar quantificadores (explicação didática).
- Regra 1: a negação de um quantificador universal transforma-se num existencial com a negação do predicado:
Isto significa que "não para todo
vale
" é equivalente a "existe um
tal que não vale
".
- Regra 2: a negação de um quantificador existencial transforma-se num universal com a negação do predicado:
Isto significa que "não existe
tal que
" é equivalente a "para todo
, não vale
".
Passo 3
Aplicar a negação ao quantificador externo usando a Regra 1.
- Começamos negando toda a fórmula. Escrevendo isso:
- Pela Regra 1, trocamos o
por e trazemos a negação para dentro:
Passo 4
Aplicar a negação ao quantificador interno usando a Regra 2.
- Agora negamos o trecho
. Pela Regra 2:
- Substituindo no resultado do passo anterior obtemos:
Passo 5
Negação da bicondicional
(explicação didática).
- Lembrete: a bicondicional
é verdadeira exatamente quando e têm o mesmo valor de verdade; logicamente ela equivale a
- Portanto a negação da bicondicional
é verdadeira quando e têm valores diferentes — ou seja, ocorre a exclusão (ou exclusivo). Uma forma padrão para a negação é:
- Em palavras: “não (A se e somente se B)” significa “A e não-B, ou não-A e B”.
Passo 6
Aplicar a negação da bicondicional ao nosso caso
e
.
- Usando a equivalência do passo anterior:
- Substituindo isso na fórmula do Passo 4 obtemos a forma final prenexada e completamente negada:
Passo 7
Interpretação em palavras (ajuda para entendimento na hora da prova).
- A negação diz: “Existe algum
tal que, para todo , e têm valores de verdade diferentes.” - Ou, dito de modo mais coloquial: “há pelo menos um
cujo valor de é incompatível com para qualquer escolha de — para cada ou é verdadeira e é falsa, ou é falsa e é verdadeira.”