Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)(\exists y)(p(y) \leftrightarrow r(x))

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se: negar a sentença lógica com quantificadores dada.
  • A sentença dada é:
(\forall x)(\exists y)\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr).
  • Informação relevante: a sentença é uma fórmula com um quantificador universal externo (\forall x), um quantificador existencial interno (\exists y) e uma ligação bicondicional \leftrightarrow entre as proposições p(y) e r(x).

Passo 2

Regra básica para negar quantificadores (explicação didática).
  • Regra 1: a negação de um quantificador universal transforma-se num existencial com a negação do predicado:
\neg\bigl((\forall x)\,A(x)\bigr)\equiv (\exists x)\,\neg A(x).
Isto significa que "não para todo x vale A(x)" é equivalente a "existe um x tal que não vale A(x)".
  • Regra 2: a negação de um quantificador existencial transforma-se num universal com a negação do predicado:
\neg\bigl((\exists y)\,B(y)\bigr)\equiv (\forall y)\,\neg B(y).
Isto significa que "não existe y tal que B(y)" é equivalente a "para todo y, não vale B(y)".

Passo 3

Aplicar a negação ao quantificador externo usando a Regra 1.
  • Começamos negando toda a fórmula. Escrevendo isso:
\neg\bigl((\forall x)(\exists y)\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr)\bigr).
  • Pela Regra 1, trocamos o (\forall x) por (\exists x) e trazemos a negação para dentro:
(\exists x)\,\neg\bigl((\exists y)\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr)\bigr).

Passo 4

Aplicar a negação ao quantificador interno usando a Regra 2.
  • Agora negamos o trecho \bigl((\exists y)(p(y)\leftrightarrow r(x))\bigr). Pela Regra 2:
\neg\bigl((\exists y)\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr)\bigr)\equiv (\forall y)\,\neg\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr).
  • Substituindo no resultado do passo anterior obtemos:
(\exists x)(\forall y)\,\neg\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr).

Passo 5

Negação da bicondicional \leftrightarrow (explicação didática).
  • Lembrete: a bicondicional \bigl(A\leftrightarrow B\bigr) é verdadeira exatamente quando A e B têm o mesmo valor de verdade; logicamente ela equivale a
\bigl(A\wedge B\bigr)\vee\bigl(\neg A\wedge\neg B\bigr).
  • Portanto a negação da bicondicional \neg\bigl(A\leftrightarrow B\bigr) é verdadeira quando A e B têm valores diferentes — ou seja, ocorre a exclusão (ou exclusivo). Uma forma padrão para a negação é:
\neg\bigl(A\leftrightarrow B\bigr)\equiv \bigl(A\wedge\neg B\bigr)\vee\bigl(\neg A\wedge B\bigr).
  • Em palavras: “não (A se e somente se B)” significa “A e não-B, ou não-A e B”.

Passo 6

Aplicar a negação da bicondicional ao nosso caso A\equiv p(y) e B\equiv r(x).
  • Usando a equivalência do passo anterior:
\neg\bigl(p(y)\leftrightarrow r(x)\bigr)\equiv \bigl(p(y)\wedge\neg r(x)\bigr)\vee\bigl(\neg p(y)\wedge r(x)\bigr).
  • Substituindo isso na fórmula do Passo 4 obtemos a forma final prenexada e completamente negada:
(\exists x)(\forall y)\Bigl(\bigl(p(y)\wedge\neg r(x)\bigr)\vee\bigl(\neg p(y)\wedge r(x)\bigr)\Bigr).

Passo 7

Interpretação em palavras (ajuda para entendimento na hora da prova).
  • A negação diz: “Existe algum x tal que, para todo y, p(y) e r(x) têm valores de verdade diferentes.”
  • Ou, dito de modo mais coloquial: “há pelo menos um x cujo valor de r(x) é incompatível com p(y) para qualquer escolha de y — para cada y ou p(y) é verdadeira e r(x) é falsa, ou p(y) é falsa e r(x) é verdadeira.”

Resposta

(\exists x)(\forall y)\Bigl(\bigl(p(y)\wedge\neg r(x)\bigr)\vee\bigl(\neg p(y)\wedge r(x)\bigr)\Bigr)

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