Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall x)(\forall y)(\neg(p(x) \wedge r(y)) \vee p(x))

Passo 1

O enunciado pede que neguemos a sentença lógica abaixo (ou seja, escrevamos a negação lógica correta):
(\forall x)(\forall y)\bigl(\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\vee p(x)\bigr).
Informações dadas:
  • Há dois quantificadores universais \forall x e \forall y.
  • O predicado interno é a disjunção \neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\vee p(x).
  • O objetivo é obter a fórmula equivalente à negação da sentença inteira.

Passo 2

Regra básica para negar quantificadores (explicação didática):
  • A negação de \forall vira \exists e a negação de \exists vira \forall.
  • Em símbolos: \neg\bigl((\forall z)\,A(z)\bigr) é equivalente a (\exists z)\,\neg A(z).
    Isto decorre do significado: negar “para todo” é afirmar que existe algum contraexemplo.

Passo 3

Aplique a negação aos quantificadores externos usando a regra do passo anterior. Negando a sentença inteira temos:
\neg\Bigl((\forall x)(\forall y)\bigl(\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\vee p(x)\bigr)\Bigr)
que é logicamente equivalente a
(\exists x)(\exists y)\neg\bigl(\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\vee p(x)\bigr).

Passo 4

Agora precisamos negar a fórmula interna do tipo disjunção. Regra de De Morgan para conectivos lógicos (explicação didática):
  • A negação de uma disjunção é a conjunção das negações: \neg(A\vee B) é equivalente a \neg A\wedge \neg B.
    Usamos essa regra para \neg\bigl(\neg(p(x)\wedge r(y))\vee p(x)\bigr).

Passo 5

Aplicando De Morgan à parte interna obtemos:
\neg\bigl(\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\vee p(x)\bigr) \equiv \neg\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\wedge \neg p(x).

Passo 6

Simplificação por dupla negação (explicação didática):
  • A dupla negação cancela: \neg\neg A é equivalente a A.
    Portanto
\neg\neg\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\wedge \neg p(x) \equiv \bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\wedge \neg p(x).

Passo 7

Reescrevendo a conjunção de forma mais explícita:
\bigl(p(x)\wedge r(y)\bigr)\wedge \neg p(x) \equiv p(x)\wedge \neg p(x)\wedge r(y).
Observe que p(x)\wedge \neg p(x) é uma contradição (sempre falsa para qualquer x). Portanto a parte interna é logicamente equivalente a \bot (falso), e consequentemente o existencial sobre algo falso também é falso.

Resposta

(\exists x)(\exists y)\bigl(p(x)\wedge r(y)\wedge \neg p(x)\bigr)

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