Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
Passo 1
O enunciado pede que neguemos a sentença lógica abaixo (ou seja, escrevamos a negação lógica correta):
Informações dadas:
- Há dois quantificadores universais
e . - O predicado interno é a disjunção
. - O objetivo é obter a fórmula equivalente à negação da sentença inteira.
Passo 2
Regra básica para negar quantificadores (explicação didática):
- A negação de
vira e a negação de vira . - Em símbolos:
é equivalente a .
Isto decorre do significado: negar “para todo” é afirmar que existe algum contraexemplo.
Passo 3
Aplique a negação aos quantificadores externos usando a regra do passo anterior. Negando a sentença inteira temos:
que é logicamente equivalente a
Passo 4
Agora precisamos negar a fórmula interna do tipo disjunção. Regra de De Morgan para conectivos lógicos (explicação didática):
- A negação de uma disjunção é a conjunção das negações:
é equivalente a .
Usamos essa regra para.
Passo 5
Aplicando De Morgan à parte interna obtemos:
Passo 6
Simplificação por dupla negação (explicação didática):
- A dupla negação cancela:
é equivalente a .
Portanto
Passo 7
Reescrevendo a conjunção de forma mais explícita:
Observe que
é uma contradição (sempre falsa para qualquer
). Portanto a parte interna é logicamente equivalente a
(falso), e consequentemente o existencial sobre algo falso também é falso.