Negue as seguintes sentenças lógicas com quantificadores:
(\forall \varepsilon)(\exists \delta)(0<|x-c|<\delta \rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon)

Passo 1

O que o enunciado pede: negar a sentença lógica dada.
Sentença fornecida (vou copiar exatamente o que foi dado):
(\forall \varepsilon)(\exists \delta)\big(0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\big).
Informações explícitas que temos:
  • Há dois quantificadores externos: \forall \varepsilon e \exists \delta.
  • Dentro está uma implicação: 0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
  • As variáveis que aparecem são \varepsilon,\delta,x,c,f,L. O enunciado não especifica domínios (por exemplo \varepsilon>0), por isso vou negar exatamente a fórmula como foi escrita.

Passo 2

Relembrando regras essenciais (com explicação gentil, como um amigo explicando):
  • Negação de quantificadores:
    • \neg\big((\forall y)\,P(y)\big) é logicamente equivalente a (\exists y)\,\neg P(y). Ou seja: “não para todo” vira “existe ao menos um que não”.
    • \neg\big((\exists y)\,P(y)\big) é equivalente a (\forall y)\,\neg P(y). Ou seja: “não existe” vira “todo tem a propriedade contrária”.
  • Negação de uma implicação:
    • \neg(A\rightarrow B) é equivalente a A\land \neg B. Intuição: a única forma do “se A então B” ser falso é quando A acontece mas B não.
  • Negação de uma desigualdade estrita:
    • \neg\big(|f(x)-L|<\varepsilon\big) é |f(x)-L|\ge \varepsilon.
Vou usar essas três regras passo a passo para empurrar a negação para dentro da fórmula.

Passo 3

Começo negando toda a sentença:
\neg\Big((\forall \varepsilon)(\exists \delta)\big(0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\big)\Big).
Aplicando a regra da negação do quantificador universal ( \neg(\forall)\equiv\exists\neg), obtemos:
(\exists \varepsilon)\,\neg\Big((\exists \delta)\big(0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\big)\Big).

Passo 4

Agora aplico a regra da negação do quantificador existencial ( \neg(\exists)\equiv\forall\neg) ao interior:
(\exists \varepsilon)(\forall \delta)\,\neg\big(0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\big).

Passo 5

Negar a implicação usando \neg(A\rightarrow B)\equiv A\land\neg B. Tomando A como 0<|x-c|<\delta e B como |f(x)-L|<\varepsilon, obtemos:
(\exists \varepsilon)(\forall \delta)\big(0<|x-c|<\delta \land \neg(|f(x)-L|<\varepsilon)\big).

Passo 6

Por fim, aplico a negação da desigualdade estrita: \neg(|f(x)-L|<\varepsilon) equivale a |f(x)-L|\ge \varepsilon. Substituindo, a negação final fica:
(\exists \varepsilon)(\forall \delta)\big(0<|x-c|<\delta \land |f(x)-L|\ge \varepsilon\big).
Breve interpretação (só para motivar): isso diz que existe algum \varepsilon tal que, para todo \delta, ocorre simultaneamente 0<|x-c|<\delta e |f(x)-L|\ge\varepsilon — em palavras, há uma tolerância \varepsilon que não é atendida por nenhum \delta. Força e foco: você já entendeu a mecanica de “virar quantificador + negar o predicado” — é a peça chave para esse tipo de problema!

Resposta

(\exists \varepsilon)(\forall \delta)\big(0<|x-c|<\delta \land |f(x)-L|\ge \varepsilon\big)

Exercícios relacionados