Nessas condições calcule a integral da função,
f(x, y, z)=\left(1+x y^{2}\right)
ao longo do caminho,
\overrightarrow{\mathrm{r}}(\mathrm{t})=\mathrm{t} \hat{\imath}+2 \hat{\jmath},
e considerando 0 \leq \mathrm{t} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva. O conteúdo é integral de linha de campo escalar, onde usamos a parametrização \overrightarrow r(t) e a fórmula
\int_C f(x,y,z)\,ds \;=\;\int_a^b f\bigl(\overrightarrow r(t)\bigr)\,\bigl\|\overrightarrow r\,'(t)\bigr\|\,dt.
Vamos identificar f, a curva e aplicar essa definição.

Passo 2

A curva é dada por
\overrightarrow r(t) = t\,\hat\imath + 2\,\hat\jmath + 0\,\hat k, \quad 0\le t\le1.
Logo,
x(t)=t,\quad y(t)=2,\quad z(t)=0.
Substituindo em f(x,y,z)=1+x\,y^2 obtemos
f\bigl(\overrightarrow r(t)\bigr) =1 + \bigl(t\bigr)\bigl(2\bigr)^2 =1 + 4t.

Passo 3

Derivando a parametrização,
\overrightarrow r\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,2,0\bigr)=(1,0,0),
e o módulo é
\bigl\|\overrightarrow r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1.

Passo 4

Agora montamos a integral de linha:
\int_C f\,ds =\int_{0}^{1}\bigl(1+4t\bigr)\cdot1\,dt =\int_{0}^{1}(1+4t)\,dt.
Calculando,
\int_{0}^{1}1\,dt=1, \qquad \int_{0}^{1}4t\,dt=4\cdot\frac{1}{2}=2,
logo
\int_{0}^{1}(1+4t)\,dt=1+2=3.

Resposta

O valor da integral de linha é 3.

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