Nessas condições calcule a integral da função, f(x, y, z)=\left(1+x y^{2}\right) ao longo do caminho, \overrightarrow{\mathrm{r}}(\mathrm{t})=\mathrm{t} \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}, e considerando 0 \leq \mathrm{t} \leq 1. Passo 1O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva. O conteúdo é integral de linha de campo escalar, onde usamos a parametrização \overrightarrow r(t) e a fórmula \int_C f(x,y,z)\,ds \;=\;\int_a^b f\bigl(\overrightarrow r(t)\bigr)\,\bigl\|\overrightarrow r\,'(t)\bigr\|\,dt. Vamos identificar f, a curva e aplicar essa definição. Passo 2A curva é dada por \overrightarrow r(t) = t\,\hat\imath + 2\,\hat\jmath + 0\,\hat k, \quad 0\le t\le1. Logo, x(t)=t,\quad y(t)=2,\quad z(t)=0. Substituindo em f(x,y,z)=1+x\,y^2 obtemos f\bigl(\overrightarrow r(t)\bigr) =1 + \bigl(t\bigr)\bigl(2\bigr)^2 =1 + 4t. Passo 3Derivando a parametrização, \overrightarrow r\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,2,0\bigr)=(1,0,0), e o módulo é \bigl\|\overrightarrow r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1. Passo 4Agora montamos a integral de linha: \int_C f\,ds =\int_{0}^{1}\bigl(1+4t\bigr)\cdot1\,dt =\int_{0}^{1}(1+4t)\,dt. Calculando, \int_{0}^{1}1\,dt=1, \qquad \int_{0}^{1}4t\,dt=4\cdot\frac{1}{2}=2, logo \int_{0}^{1}(1+4t)\,dt=1+2=3. RespostaO valor da integral de linha é 3. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUm carro de 5000 kg passa por uma ponte conexa de raio de curvatura 50 m com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Com que força pesa o carro sobre a metade da ponte? Adopte g =10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (b) Calcule essa força se a ponte for côncava. (PUC-SP) Um carro, partindo do repouso, assume movimento com aceleração constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, durante 5 s . Desliga-se então o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao repouso com retardamento constante de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. A duração do movimento do corpo é de: a) 5 s . b) 10 s . c) 15 s . d) 20 s . Questão 3 - Considere um circuito em série composto por um resistor de resistência \mathrm{R}=1200 \Omega e um capacitor de capacitância \mathrm{C}=2,00 \mu \mathrm{F}, conectados a uma fonte de corrente alternada cossenoidal com frequência angular \omega=5000 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e corrente máxima \mathrm{I}=2,00 \mathrm{~mA}. a) ( 25 ptos) Calcule a corrente qm do circuito. b) ( 25 ptos) Calcule o ângulo de fase entre a voltagem no capacitor e a corrente elétrica do circuito. c) (25 ptos) Determine a expressão para a voltagem máxima do capacitor em termos da corrente elétrica máxima I , da capacitância C e da frequência angular \omega. d) ( 25 ptos) Explique qualitativamente como a reatância capacitiva \mathrm{X}_{\mathrm{C}} do circuito varia quando a frequência angular \omega da fonte de corrente alternada aumenta. Questão 4 - Um transformador ideal possui 400 espiras no enrolamento primário e 200 espiras no enrolamento secundário. O transformador é alimentado por uma fonte de tensão alternada de 220 V (qm) no primário. Com base nessas informações, analise as afirmações a seguir e classifique-as como Verdadeiras ou Falsas (F), justificando sua resposta. a) ( 40 ptos) A voltagem qm no secundário do transformador é 88 V . b) ( 40 ptos) Se a corrente qm no secundário for 5 A , a corrente rms no primário será 12,5 \mathrm{~A}. c) (20 ptos) A potência fornecida no secundário do transformador é 440 W .