Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
  • Compacidade;
  • Interior vazio;
  • Medida de Lebesgue nula;
  • Perfeição;
  • Não enumerabilidade.
  1. Compacidade: Prove que o Conjunto de Cantor C é compacto. (Dica: utilize a definição de compacto em \mathbb{R} como conjunto fechado e limitado.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C é compacto. Em \mathbb{R}, pelo Teorema de Heine–Borel, um conjunto é compacto se, e só se, for ao mesmo tempo fechado e limitado. Portanto, vamos provar essas duas propriedades para C.

Passo 2

Mostrando que C é limitado.
Por construção, o Conjunto de Cantor nasce do intervalo [0,1] removendo sucessivamente “terços” abertos. Em cada etapa C_n está contido em [0,1], e
C = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n
então C\subset[0,1]. Como [0,1] é limitado, qualquer subconjunto dele, em particular C, também é limitado.

Passo 3

Mostrando que C é fechado.
Cada conjunto C_n é, por construção, uma união finita de intervalos fechados. Logo, cada C_n é fechado em \mathbb{R}. Como
C = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n
e interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, concluímos que C é fechado.

Passo 4

Conclusão pelo Teorema de Heine–Borel.
Já temos que C é limitado (Passo 2) e fechado (Passo 3). Portanto, pelo Teorema de Heine–Borel em \mathbb{R}, C é compacto.

Resposta

O Conjunto de Cantor C é compacto.

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