Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
- Compacidade;
- Interior vazio;
- Medida de Lebesgue nula;
- Perfeição;
- Não enumerabilidade.
- Compacidade: Prove que o Conjunto de Cantor
é compacto. (Dica: utilize a definição de compacto em
como conjunto fechado e limitado.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor
é compacto. Em
, pelo Teorema de Heine–Borel, um conjunto é compacto se, e só se, for ao mesmo tempo fechado e limitado. Portanto, vamos provar essas duas propriedades para
.
Passo 2
Mostrando que
é limitado.
Por construção, o Conjunto de Cantor nasce do intervalo removendo sucessivamente “terços” abertos. Em cada etapa
está contido em
, e
Por construção, o Conjunto de Cantor nasce do intervalo
então
. Como
é limitado, qualquer subconjunto dele, em particular
, também é limitado.
Passo 3
Mostrando que
é fechado.
Cada conjunto é, por construção, uma união finita de intervalos fechados. Logo, cada
é fechado em
. Como
Cada conjunto
e interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, concluímos que
é fechado.
Passo 4
Conclusão pelo Teorema de Heine–Borel.
Já temos que é limitado (Passo 2) e fechado (Passo 3). Portanto, pelo Teorema de Heine–Borel em
,
é compacto.
Já temos que
Resposta
O Conjunto de Cantor
é compacto.