Questão 4: (3 pontos) Decida se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for verdadeira, prove. Se for falsa, apresente um contra-exemplo.
( ) Se A não é aberto, então A é fechado.
( ) O Conjunto \mathbb{Q}, dos números racionais, não possui pontos interiores.
( ) O termo geral de uma série convergente tem limite zero.
( ) Todo conjunto compacto possui elemento máximo e elemento mínimo.
( ) A série \sum(-1)^{n+1} é convergente.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre topologia em \mathbb{R} e séries numéricas, pedindo para decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F), provando as verdadeiras e dando contra-exemplo para as falsas. Vamos usar conceitos de aberto/fechado em \mathbb{R}, pontos interiores, limites de termos de série e propriedades de compacidade.

Passo 2

Afirmação 1: “Se A não é aberto, então A é fechado.”
Essa afirmação é falsa. Contra-exemplo em \mathbb{R}: seja
A = [0,1).
Esse conjunto não é aberto (não contém um intervalo aberto em torno de 0), e também não é fechado (o ponto 1 é aderente mas não pertence a A). Logo A não é aberto e tampouco é fechado.

Passo 3

Afirmação 2: “O conjunto \mathbb{Q}, dos números racionais, não possui pontos interiores.”
Essa afirmação é verdadeira. Prova: tome qualquer ponto q\in\mathbb{Q}. Se existisse um intervalo aberto (q-\varepsilon,q+\varepsilon)\subseteq\mathbb{Q}, então todo x nesse intervalo seria racional, mas sabemos que em qualquer intervalo real existem irracionais. Contradição. Portanto nenhum q\in\mathbb{Q} é ponto interior.

Passo 4

Afirmação 3: “O termo geral de uma série convergente tem limite zero.”
Essa afirmação é verdadeira. Prova: se \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então sua sequência de somas parciais s_n\to S finito. Como a_n = s_n - s_{n-1}, do limite de s_n segue
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n - s_{n-1}) = S - S = 0.

Passo 5

Afirmação 4: “Todo conjunto compacto possui elemento máximo e elemento mínimo.”
Essa afirmação é verdadeira em \mathbb{R}. Prova: em \mathbb{R}, compacto equivale a fechado e limitado (Teorema de Heine-Borel). Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua num compacto atinge máximo e mínimo; em particular as projeções x\mapsto x atingem extremos, dando máximo e mínimo do conjunto.

Passo 6

Afirmação 5: “A série \sum(-1)^{n+1} é convergente.”
Essa afirmação é falsa. Essa é a série dos termos 1,-1,1,-1,\dots. As somas parciais alternam entre 1 e 0, sem convergir a um único valor. Além disso o termo geral não tende a zero, condição necessária para convergência.

Resposta

(F)
(V)
(V)
(V)
(F)

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