Questão 4: (3 pontos) Decida se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Se for verdadeira, prove. Se for falsa, apresente um contra-exemplo.
( ) Se
não é aberto, então
é fechado.
( ) O Conjunto
, dos números racionais, não possui pontos interiores.
( ) O termo geral de uma série convergente tem limite zero.
( ) Todo conjunto compacto possui elemento máximo e elemento mínimo.
( ) A série
é convergente.
( ) Se
( ) O Conjunto
( ) O termo geral de uma série convergente tem limite zero.
( ) Todo conjunto compacto possui elemento máximo e elemento mínimo.
( ) A série
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre topologia em
e séries numéricas, pedindo para decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F), provando as verdadeiras e dando contra-exemplo para as falsas. Vamos usar conceitos de aberto/fechado em
, pontos interiores, limites de termos de série e propriedades de compacidade.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
não é aberto, então
é fechado.”
Essa afirmação é falsa. Contra-exemplo em : seja
Essa afirmação é falsa. Contra-exemplo em
Esse conjunto não é aberto (não contém um intervalo aberto em torno de
), e também não é fechado (o ponto
é aderente mas não pertence a
). Logo
não é aberto e tampouco é fechado.
Passo 3
Afirmação 2: “O conjunto
, dos números racionais, não possui pontos interiores.”
Essa afirmação é verdadeira. Prova: tome qualquer ponto . Se existisse um intervalo aberto
, então todo
nesse intervalo seria racional, mas sabemos que em qualquer intervalo real existem irracionais. Contradição. Portanto nenhum
é ponto interior.
Essa afirmação é verdadeira. Prova: tome qualquer ponto
Passo 4
Afirmação 3: “O termo geral de uma série convergente tem limite zero.”
Essa afirmação é verdadeira. Prova: se converge, então sua sequência de somas parciais
finito. Como
, do limite de
segue
Essa afirmação é verdadeira. Prova: se
Passo 5
Afirmação 4: “Todo conjunto compacto possui elemento máximo e elemento mínimo.”
Essa afirmação é verdadeira em . Prova: em
, compacto equivale a fechado e limitado (Teorema de Heine-Borel). Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua num compacto atinge máximo e mínimo; em particular as projeções
atingem extremos, dando máximo e mínimo do conjunto.
Essa afirmação é verdadeira em
Passo 6
Afirmação 5: “A série
é convergente.”
Essa afirmação é falsa. Essa é a série dos termos . As somas parciais alternam entre
e
, sem convergir a um único valor. Além disso o termo geral não tende a zero, condição necessária para convergência.
Essa afirmação é falsa. Essa é a série dos termos
Resposta
(F)
(V)
(V)
(V)
(F)
(V)
(V)
(V)
(F)