Questão 5: (1.5 pontos) Mostre que todo ponto de acumulação é de aderência. Dê um contraexemplo mostrando que a recíproca não é verdadeira.

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos num espaço topológico (por exemplo \mathbb{R} com a topologia usual) e queremos usar as definições de ponto de acumulação e ponto de aderência de um conjunto A.
Definições principais:
x é ponto de acumulação de A se, para todo entorno U de x,
(U\setminus\{x\})\cap A\neq\emptyset.
x é ponto de aderência de A se, para todo entorno U de x,
U\cap A\neq\emptyset.
Precisamos então provar que a primeira condição implica a segunda e dar um contraexemplo para mostrar que a recíproca é falsa.

Passo 2

Se x é ponto de acumulação de A, então para todo entorno U de x vale
(U\setminus\{x\})\cap A\neq\emptyset.
Como (U\setminus\{x\})\subset U, segue que
U\cap A\supset (U\setminus\{x\})\cap A\neq\emptyset.
Logo x satisfaz a condição de ponto de aderência de A. Isso prova que todo ponto de acumulação é também ponto de aderência.

Passo 3

Para ver que a recíproca falha, basta tomar um conjunto que tenha pontos isolados. Por exemplo, em \mathbb{R} considere
A=\{0\}.
Então 0 é ponto de aderência porque todo intervalo aberto com centro em 0 contém 0. Mas 0 não é ponto de acumulação, pois se eu retirar 0 do entorno sobra um conjunto vazio e não há interseção com A.

Resposta

Todo ponto de acumulação é ponto de aderência, mas a recíproca não vale: por exemplo, em \mathbb{R} o conjunto A=\{0\} tem 0 como aderência e não como ponto de acumulação.

Exercícios relacionados