Questão 5: (1.5 pontos) Mostre que todo ponto de acumulação é de aderência. Dê um contraexemplo mostrando que a recíproca não é verdadeira.
Passo 1
Resumindo o enunciado, estamos num espaço topológico (por exemplo
com a topologia usual) e queremos usar as definições de ponto de acumulação e ponto de aderência de um conjunto
.
Definições principais:
– é ponto de acumulação de
se, para todo entorno
de
,
Definições principais:
–
–
é ponto de aderência de
se, para todo entorno
de
,
Precisamos então provar que a primeira condição implica a segunda e dar um contraexemplo para mostrar que a recíproca é falsa.
Passo 2
Se
é ponto de acumulação de
, então para todo entorno
de
vale
Como
, segue que
Logo
satisfaz a condição de ponto de aderência de
. Isso prova que todo ponto de acumulação é também ponto de aderência.
Passo 3
Para ver que a recíproca falha, basta tomar um conjunto que tenha pontos isolados. Por exemplo, em
considere
Então 0 é ponto de aderência porque todo intervalo aberto com centro em 0 contém 0. Mas 0 não é ponto de acumulação, pois se eu retirar 0 do entorno sobra um conjunto vazio e não há interseção com
.
Resposta
Todo ponto de acumulação é ponto de aderência, mas a recíproca não vale: por exemplo, em
o conjunto
tem 0 como aderência e não como ponto de acumulação.