Nestas questões, observa que não há um intervalo estipulado.
Resolver a equação trigonométrica 4 \operatorname{sen}^{2} x-3=0; ou seja, a solução geral ou as soluções gerais.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica 4\operatorname{sen}^{2}x-3=0.
Ou seja: encontrar todas as soluções gerais (todas as x que satisfazem a equação), já que não foi dado nenhum intervalo.
Informações dadas: a equação é 4\operatorname{sen}^{2}x-3=0.

Passo 2

Isolando o termo com o seno para transformar a equação numa coisa mais simples. Vou tratar \operatorname{sen}x como uma variável temporária se ajudar a pensar. Começo movendo o 3 para o outro lado e dividindo por 4:
4\operatorname{sen}^{2}x-3=0
4\operatorname{sen}^{2}x=3
\operatorname{sen}^{2}x=\frac{3}{4}.
Explicação didática: aqui fiz álgebra elementar — somei 3 aos dois lados e dividi ambos os lados por 4 para deixar \operatorname{sen}^{2}x sozinho. Isso é exatamente como resolver uma equação quadrática em qualquer variável.

Passo 3

Agora tiro a raiz quadrada nos dois lados. Lembre que ao tirar raiz de y^{2} obtemos y=\pm\sqrt{\cdot}, ou seja, precisamos considerar os sinais positivo e negativo:
\operatorname{sen}x=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação didática: sempre que temos a^2=b com b\ge0, as soluções são a=\pm\sqrt{b}. Aqui b=3/4, logo \sqrt{b}=\sqrt{3}/2.

Passo 4

Agora resolvemos separadamente as duas equações trigonométricas
\operatorname{sen}x=\frac{\sqrt{3}}{2}
e
\operatorname{sen}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Vou usar a forma geral conhecida para \operatorname{sen}x=\alpha: as soluções gerais são
x=\arcsin(\alpha)+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\arcsin(\alpha)+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
porque no círculo trigonométrico o seno tem o mesmo valor em dois quadrantes simétricos em relação ao eixo vertical.

Passo 5

Resolver \operatorname{sen}x=\frac{\sqrt{3}}{2}. O valor principal \arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) é \frac{\pi}{3} (porque \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}). Usando a fórmula geral:
x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto as soluções para o caso positivo são \frac{\pi}{3}+2k\pi e \frac{2\pi}{3}+2k\pi.

Passo 6

Resolver \operatorname{sen}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. O valor principal \arcsin\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) é -\frac{\pi}{3}. Aplicando a fórmula geral:
x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-(-\tfrac{\pi}{3})+2k\pi=\pi+\frac{\pi}{3}= \frac{4\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Observação: -\frac{\pi}{3}+2k\pi é congruente a \frac{5\pi}{3}+2(k-1)\pi, então escrevendo os ângulos no intervalo [0,2\pi) obtemos \frac{4\pi}{3} e \frac{5\pi}{3}. Assim as soluções do caso negativo são \frac{4\pi}{3}+2k\pi e \frac{5\pi}{3}+2k\pi.

Passo 7

Juntando tudo, as quatro famílias com período 2\pi são
x=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Posso também apresentar uma forma mais compacta e elegante usando o fato de que \operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}x. Assim basta dar duas famílias com período \pi:
x=\frac{\pi}{3}+k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{2\pi}{3}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Explicação didática: ao somar \pi a uma solução de seno, obtemos o seno com sinal trocado, então cada família com 2\pi pode ser “colapsada” em uma família com passo \pi.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi ou x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados