Nestas questões, observa que não há um intervalo estipulado.
Resolver a equação trigonométrica
; ou seja, a solução geral ou as soluções gerais.
Resolver a equação trigonométrica
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
Ou seja: encontrar todas as soluções gerais (todas as
que satisfazem a equação), já que não foi dado nenhum intervalo.
Informações dadas: a equação é
Passo 2
Isolando o termo com o seno para transformar a equação numa coisa mais simples. Vou tratar
como uma variável temporária se ajudar a pensar. Começo movendo o
para o outro lado e dividindo por
:
Explicação didática: aqui fiz álgebra elementar — somei
aos dois lados e dividi ambos os lados por
para deixar
sozinho. Isso é exatamente como resolver uma equação quadrática em qualquer variável.
Passo 3
Agora tiro a raiz quadrada nos dois lados. Lembre que ao tirar raiz de
obtemos
, ou seja, precisamos considerar os sinais positivo e negativo:
Explicação didática: sempre que temos
com
, as soluções são
. Aqui
, logo
.
Passo 4
Agora resolvemos separadamente as duas equações trigonométricas
e
Vou usar a forma geral conhecida para
: as soluções gerais são
porque no círculo trigonométrico o seno tem o mesmo valor em dois quadrantes simétricos em relação ao eixo vertical.
Passo 5
Resolver
. O valor principal
é
(porque
). Usando a fórmula geral:
Portanto as soluções para o caso positivo são
e
.
Passo 6
Resolver
. O valor principal
é
. Aplicando a fórmula geral:
Observação:
é congruente a
, então escrevendo os ângulos no intervalo
obtemos
e
. Assim as soluções do caso negativo são
e
.
Passo 7
Juntando tudo, as quatro famílias com período
são
Posso também apresentar uma forma mais compacta e elegante usando o fato de que
. Assim basta dar duas famílias com período
:
Explicação didática: ao somar
a uma solução de seno, obtemos o seno com sinal trocado, então cada família com
pode ser “colapsada” em uma família com passo
.