Questão 2 (2 pontos)
Encontrar as soluções da equação a seguir (no grau mais próximo), no intervalo 0 \leq \theta<360 : 3 \tan \theta-4=4 \tan \theta+2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções, no intervalo 0 \leq \theta < 360^\circ, da equação
3\tan\theta - 4 = 4\tan\theta + 2.
Informações relevantes fornecidas:
\,3\tan\theta - 4 = 4\tan\theta + 2, intervalo para \theta é [0,360^\circ). Pedem as soluções em graus, arredondadas para o grau mais próximo.

Passo 2

Isolamos \tan\theta como numa equação algébrica comum: subtraímos 4\tan\theta e somamos 4 em ambos os lados.
3\tan\theta - 4 - 4\tan\theta + 4 = 4\tan\theta + 2 - 4\tan\theta + 4
Simplificando os termos:
- \tan\theta = 6
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\tan\theta = -6.

Passo 3

Explicando o que isso significa (aula rápida): \tan\theta é a razão entre seno e cosseno. Quando temos \tan\theta = a com a qualquer, as soluções gerais em graus são
\theta = \arctan(a) + k\cdot 180^\circ,\quad k\in\mathbb{Z},
porque \tan tem período de 180^\circ. Aqui a=-6, então as soluções gerais são
\theta = \arctan(-6) + k\cdot 180^\circ.
Observação prática: \arctan(-6) é um ângulo no intervalo (-90^\circ,0^\circ). Podemos também usar \arctan(6) positivo e deduzir ângulos nos quadrantes onde a tangente é negativa (II e IV).

Passo 4

Calculemos a medida principal de \arctan(-6). Usando uma calculadora em modo grau,
\arctan(-6) \approx -80{,}537678^\circ.
Agora geramos soluções no intervalo [0,360^\circ) somando múltiplos de 180^\circ.

Passo 5

Aplicando k=1 e k=2 (porque com k=0 temos valor negativo):
Para k=1:
\theta_1 = -80{,}537678^\circ + 180^\circ = 99{,}462322^\circ.
Para k=2:
\theta_2 = -80{,}537678^\circ + 360^\circ = 279{,}462322^\circ.
Ambos estão no intervalo [0,360^\circ). (Outra forma: \theta_1=180^\circ-\arctan(6) e \theta_2=360^\circ-\arctan(6), porque \arctan(6)\approx 80{,}537678^\circ.)

Passo 6

Arredondando cada solução para o grau mais próximo:
\theta_1 \approx 99{,}462322^\circ \to 99^\circ,
\theta_2 \approx 279{,}462322^\circ \to 279^\circ.
Expliquei o porquê do arredondamento: a parte decimal 0{,}462322<0{,}5, então arredonda-se para baixo.

Resposta

99^\circ
279^\circ

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