Questão 4 (2 pontos)
Encontrar todas as soluções de \tan ^{2} \theta+5 \tan \theta=-6, sendo 0 \leq \theta<360^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções de \tan^{2}\theta + 5\tan\theta = -6 no intervalo 0 \leq \theta < 360^\circ.
Informações dadas:
\tan^{2}\theta + 5\tan\theta = -6.
Domínio das soluções: 0 \leq \theta < 360^\circ.
Objetivo claro: achar todos os valores de \theta em graus no intervalo indicado que satisfaçam a equação.

Passo 2

Transformar a equação em algo mais simples. Vou passar tudo para um lado para obter um polinômio em \tan\theta:
\tan^{2}\theta + 5\tan\theta + 6 = 0.
Aqui a ideia é reconhecer que a equação é quadrática em \tan\theta. Para simplificar a notação e ver isso com clareza, faço a substituição
t = \tan\theta,
onde t representa o valor da tangente para um certo ângulo \theta. Com isso a equação vira uma quadrática comum em t:
t^{2} + 5t + 6 = 0.

Passo 3

Resolver a quadrática t^{2} + 5t + 6 = 0. Procuro dois números que multiplicam para 6 e somam para 5. Esses números são 2 e 3. Portanto a fatoração é
t^{2}+5t+6=(t+2)(t+3).
Assim as soluções para t são
t = -2 \quad\text{ou}\quad t = -3.
Voltando à variável original, obtemos as equações
\tan\theta = -2 \quad\text{ou}\quad \tan\theta = -3.

Passo 4

Explicar como passar de \tan\theta = valor numérico para \theta no intervalo dado.
Propriedades úteis da tangente:
  • A tangente tem período 180^\circ. Ou seja, se \tan\theta = a, então todas as soluções são \theta = \theta_0 + k\cdot 180^\circ, k\in\mathbb{Z}, onde \theta_0 é uma solução particular.
  • A tangente é negativa nos quadrantes II e IV. Então, para uma tangente negativa -|a|, as soluções em [0,360^\circ) podem ser obtidas usando o ângulo de referência \alpha = \arctan(|a|) (um número entre 0^\circ e 90^\circ): as soluções são
\theta = 180^\circ - \alpha \quad\text{(quadrante II)}
e
\theta = 360^\circ - \alpha \quad\text{(quadrante IV)}.
Outra forma equivalente é pegar uma solução \theta_0 = \arctan(a) (que dá um valor entre -90^\circ e 90^\circ) e adicionar 180^\circ para gerar outras soluções; eu vou usar a ideia do ângulo de referência porque fica mais direto para números negativos.

Passo 5

Aplicar o procedimento para cada caso. Primeiro calculemos os ângulos de referência.
Para \tan\theta = -2 tomamos
\alpha_1 = \arctan(2).
Numericamente, usando uma calculadora (ou tabelas), temos
\alpha_1 \approx 63{,}43494882^\circ.
Para \tan\theta = -3 tomamos
\alpha_2 = \arctan(3),
e numericamente
\alpha_2 \approx 71{,}56505118^\circ.
(Se você estiver sozinho numa prova sem calculadora, pode deixar as respostas escritas em termos de \arctan(2) e \arctan(3); aqui eu apresento também os valores numéricos aproximados para ficar prático.)

Passo 6

Gerar as soluções em [0,360^\circ) para \tan\theta = -2 usando \alpha_1.
As duas soluções são
\theta = 180^\circ - \alpha_1 \quad\text{e}\quad \theta = 360^\circ - \alpha_1.
Substituindo o valor aproximado de \alpha_1:
\theta \approx 180^\circ - 63{,}43494882^\circ = 116{,}56505118^\circ,
\theta \approx 360^\circ - 63{,}43494882^\circ = 296{,}56505118^\circ.
Arredondando a três casas decimais: \,116{,}565^\circ e \,296{,}565^\circ.

Passo 7

Gerar as soluções em [0,360^\circ) para \tan\theta = -3 usando \alpha_2.
As duas soluções são
\theta = 180^\circ - \alpha_2 \quad\text{e}\quad \theta = 360^\circ - \alpha_2.
Substituindo o valor aproximado de \alpha_2:
\theta \approx 180^\circ - 71{,}56505118^\circ = 108{,}43494882^\circ,
\theta \approx 360^\circ - 71{,}56505118^\circ = 288{,}43494882^\circ.
Arredondando a três casas decimais: \,108{,}435^\circ e \,288{,}435^\circ.

Passo 8

Checagem rápida (mental): as quatro soluções encontradas estão no intervalo 0\le \theta<360^\circ e correspondem a tangentes negativas (portanto quadrantes II e IV), como deveria ser. Tudo consistente.
Força! Você já tem o procedimento genérico: transforme em quadrática em \tan\theta, resolva para \tan\theta, então use o ângulo de referência \alpha=\arctan(|t|) para achar as soluções em II e IV quando a tangente é negativa.

Resposta

116{,}56505118^\circ
296{,}56505118^\circ
108{,}43494882^\circ
288{,}43494882^\circ

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