Questão 4 (2 pontos)
Encontrar todas as soluções de
, sendo
.
Encontrar todas as soluções de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções de
no intervalo
.
Informações dadas:
.
Domínio das soluções: .
Domínio das soluções:
Objetivo claro: achar todos os valores de
em graus no intervalo indicado que satisfaçam a equação.
Passo 2
Transformar a equação em algo mais simples. Vou passar tudo para um lado para obter um polinômio em
:
Aqui a ideia é reconhecer que a equação é quadrática em
. Para simplificar a notação e ver isso com clareza, faço a substituição
onde
representa o valor da tangente para um certo ângulo
. Com isso a equação vira uma quadrática comum em
:
Passo 3
Resolver a quadrática
. Procuro dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
. Portanto a fatoração é
Assim as soluções para
são
Voltando à variável original, obtemos as equações
Passo 4
Explicar como passar de
valor numérico para
no intervalo dado.
Propriedades úteis da tangente:
- A tangente tem período
. Ou seja, se , então todas as soluções são , , onde é uma solução particular. - A tangente é negativa nos quadrantes II e IV. Então, para uma tangente negativa
, as soluções em podem ser obtidas usando o ângulo de referência (um número entre e ): as soluções são
e
Outra forma equivalente é pegar uma solução
(que dá um valor entre
e
) e adicionar
para gerar outras soluções; eu vou usar a ideia do ângulo de referência porque fica mais direto para números negativos.
Passo 5
Aplicar o procedimento para cada caso. Primeiro calculemos os ângulos de referência.
Para
tomamos
Numericamente, usando uma calculadora (ou tabelas), temos
Para
tomamos
e numericamente
(Se você estiver sozinho numa prova sem calculadora, pode deixar as respostas escritas em termos de
e
; aqui eu apresento também os valores numéricos aproximados para ficar prático.)
Passo 6
Gerar as soluções em
para
usando
.
As duas soluções são
As duas soluções são
Substituindo o valor aproximado de
:
Arredondando a três casas decimais:
e
.
Passo 7
Gerar as soluções em
para
usando
.
As duas soluções são
As duas soluções são
Substituindo o valor aproximado de
:
Arredondando a três casas decimais:
e
.
Passo 8
Checagem rápida (mental): as quatro soluções encontradas estão no intervalo
e correspondem a tangentes negativas (portanto quadrantes II e IV), como deveria ser. Tudo consistente.
Força! Você já tem o procedimento genérico: transforme em quadrática em
, resolva para
, então use o ângulo de referência
para achar as soluções em II e IV quando a tangente é negativa.