Neste exercício, considere que a massa do átomo de nitrogênio é 14,0031 u, a massa do elétron é 9,11 times 10^-31 kg e a massa do próton é 1,67 times 10^-27 kg. Calcule então o comprimento de onda de de Broglie para os seguintes cenários físicos:
© Moléculas de nitrogênio a temperatura ambiente (300K). Neste caso, é conveniente lembrar que na teoria cinética dos gases (fenômenos térmicos), aprendemos que a energia cinética média de uma partícula a uma temperatura T é igual a 3 k T / 2, onde k é a constante de Boltzmann, cujo valor é k=1,38 times 10^-23 J / K.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o comprimento de onda de de Broglie para moléculas de nitrogênio a temperatura ambiente (300K). A gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a teoria de de Broglie, além de conhecimentos da teoria cinética dos gases para calcular a energia cinética média das moléculas. Vamos usar as massas fornecidas e a constante de Boltzmann para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. De Broglie nos diz que toda partícula tem uma natureza ondulatória, e o comprimento de onda associado a essa partícula é dado por:
lambda = hp
onde:
  • lambda é o comprimento de onda de de Broglie,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J cdot s),
  • p é o momento da partícula.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento p da molécula de nitrogênio. O momento pode ser expresso como:
p = m cdot v
onde:
  • m é a massa da molécula,
  • v é a velocidade da molécula.
Mas a gente não tem a velocidade diretamente. Em vez disso, sabemos que a energia cinética média ( Ecin) das partículas em um gás ideal é:
Ecin = 32 k T
onde:
  • k é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin.

Passo 4

Vamos calcular a energia cinética média usando os valores fornecidos:
Ecin = 32 times 1,38 times 10^-23 , J/K times 300 , K
Ecin = 32 times 1,38 times 10^-23 times 300
Ecin = 32 times 4,14 times 10^-21
Ecin = 6,21 times 10^-21 , J

Passo 5

Agora, vamos relacionar a energia cinética com a velocidade. Sabemos que:
Ecin = 12 m v^2
Vamos resolver para v:
v = raiz2 Ecinm
Precisamos da massa da molécula de nitrogênio em kg. A massa do átomo de nitrogênio é 14,0031 , u, então a massa da molécula de nitrogênio (N₂) é:
m = 2 times 14,0031 , u = 28,0062 , u
Sabemos que 1 , u = 1,66054 times 10^-27 , kg, então:
m = 28,0062 times 1,66054 times 10^-27 , kg = 4,648 times 10^-26 , kg

Passo 6

Agora, calculamos a velocidade v:
v = raiz2 times 6,21 times 10^-21 , J4,648 times 10^-26 , kg
v = raiz1,242 times 10^-204,648 times 10^-26
v = raiz2,672 times 10^5
v approx 517 , m/s

Passo 7

Agora que temos a velocidade, podemos calcular o momento p:
p = m cdot v = 4,648 times 10^-26 , kg times 517 , m/s = 2,404 times 10^-23 , kg cdot m/s

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o comprimento de onda de de Broglie usando:
lambda = hp = 6,626 times 10^-34 , J cdot s2,404 times 10^-23 , kg cdot m/s
lambda = 2,755 times 10^-11 , m

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie para moléculas de nitrogênio a 300K é aproximadamente 2,76 times 10^-11 , metros.

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