Neste exercício, considere que a massa do átomo de nitrogênio é
, a massa do elétron é
e a massa do próton é
. Calcule então o comprimento de onda de de Broglie para os seguintes cenários físicos:
© Moléculas de nitrogênio a temperatura ambiente (300K). Neste caso, é conveniente lembrar que na teoria cinética dos gases (fenômenos térmicos), aprendemos que a energia cinética média de uma partícula a uma temperatura
é igual a
, onde
é a constante de Boltzmann, cujo valor é
.
© Moléculas de nitrogênio a temperatura ambiente (300K). Neste caso, é conveniente lembrar que na teoria cinética dos gases (fenômenos térmicos), aprendemos que a energia cinética média de uma partícula a uma temperatura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o comprimento de onda de de Broglie para moléculas de nitrogênio a temperatura ambiente (300K). A gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a teoria de de Broglie, além de conhecimentos da teoria cinética dos gases para calcular a energia cinética média das moléculas. Vamos usar as massas fornecidas e a constante de Boltzmann para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o comprimento de onda de de Broglie. De Broglie nos diz que toda partícula tem uma natureza ondulatória, e o comprimento de onda associado a essa partícula é dado por:
onde:
-
é o comprimento de onda de de Broglie, -
é a constante de Planck ( ), -
é o momento da partícula.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento
da molécula de nitrogênio. O momento pode ser expresso como:
onde:
-
é a massa da molécula, -
é a velocidade da molécula.
Mas a gente não tem a velocidade diretamente. Em vez disso, sabemos que a energia cinética média (
) das partículas em um gás ideal é:
onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em Kelvin.
Passo 4
Vamos calcular a energia cinética média usando os valores fornecidos:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a energia cinética com a velocidade. Sabemos que:
Vamos resolver para
:
Precisamos da massa da molécula de nitrogênio em kg. A massa do átomo de nitrogênio é
, então a massa da molécula de nitrogênio (N₂) é:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, calculamos a velocidade
:
Passo 7
Agora que temos a velocidade, podemos calcular o momento
:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o comprimento de onda de de Broglie usando:
Resposta
O comprimento de onda de de Broglie para moléculas de nitrogênio a 300K é aproximadamente
.