Neste exercício, considere que a massa do átomo de nitrogênio é 14,0031 u, a massa do elétron é 9,11 times 10^-31 kg e a massa do próton é 1,67 times 10^-27 kg. Calcule então o comprimento de onda de de Broglie para os seguintes cenários físicos:
(a) Um elétron com energia cinética igual a 4,5 keV

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve física quântica, mais especificamente o comprimento de onda de de Broglie. O que a gente precisa fazer é calcular esse comprimento de onda para um elétron que tem uma energia cinética de 4,5 keV. Para isso, vamos usar algumas informações como a massa do elétron e a energia fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de onda de de Broglie. Ela nos diz que todo objeto com movimento tem uma onda associada. A fórmula é:
lambda = hp
Onde:
  • lambda é o comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s),
  • p é o momento linear do objeto.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento linear ( p) do elétron. O momento linear está relacionado à massa ( m) e à velocidade ( v) do elétron pela fórmula:
p = m times v
Mas sabemos que o elétron tem uma energia cinética ( Ek) de 4,5 keV. A energia cinética também está relacionada ao momento linear pela fórmula:
Ek = p^22m

Passo 4

Vamos reorganizar essa última equação para encontrar o momento linear em função da energia cinética:
p = raiz2mEk
Isso vai nos permitir calcular p usando a energia cinética fornecida.

Passo 5

Antes de calcular, precisamos converter a energia de keV para J (Joules), já que as unidades da constante de Planck estão em J·s. Sabemos que:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Então,
4,5 , keV = 4,5 times 10^3 , eV = 4,5 times 10^3 times 1,602 times 10^-19 , J = 7,209 times 10^-16 , J

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento linear ( p) do elétron usando a fórmula p = raiz2mEk. A massa do elétron ( m) é 9,11 times 10^-31 , kg.
p = raiz2 times 9,11 times 10^-31 , kg times 7,209 times 10^-16 , J
Vamos calcular isso:
p = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times 7,209 times 10^-16
p = raiz1,301 times 10^-45
p approx 1,141 times 10^-22 , kg·m/s

Passo 7

Agora que temos o momento linear, podemos usar a fórmula de de Broglie para encontrar o comprimento de onda ( lambda):
lambda = hp = 6,626 times 10^-34 , J·s1,141 times 10^-22 , kg·m/s approx 5,8 times 10^-12 , m

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie para o elétron com energia cinética de 4,5 keV é aproximadamente 5,8 picômetros.

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