Neste exercício propomos duas questões sobre funções dadas da forma 1epsilon^n phi(xepsilon) .
(1,25 ponto) b) Seja chi[-12, 12]: R C a função característica do intervalo [-12, 12] , ou seja, chi[-12, 12](x)=1 para x in[-12, 12] e chi[-12, 12](x)=0 para x notin[-12, 12] . Definamos chiepsilon: R C por chiepsilon(x):=1epsilon chi[-12, 12](xepsilon)=1epsilon chi[-epsilon2, epsilon2](x) , em que chi[-epsilon2, epsilon2] é a função característica do intervalo [-epsilon2, epsilon2] . O limite lim epsilon 0^+ chiepsilon existe em D^prime(R) e é igual a uma distribuição bem conhecida. Qual é esta distribuição? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções
chiepsilon(x) =1epsilon,chil[-epsilon2,epsilon2r](x),
onde chi[-epsilon2,epsilon2](x) é 1 para xin[-epsilon2,epsilon2] e 0 caso contrário. Pede-se o limite
limepsilonto0^+chiepsilon em D'(R), ou seja, qual distribuição essa sequência aproxima.

Passo 2

Para identificar o limite como distribuição, tomamos uma função teste
varphiinD(R) (suave de suporte compacto) e calculamos a ação de chiepsilon sobre varphi:
llang<= chiepsilon,,varphirrang<= =integralRchiepsilon(x),varphi(x),dx =1epsilonintegral-epsilon2^epsilon2varphi(x),dx

Passo 3

Como varphi é suave, faz sentido usar a expansão de Taylor em torno de 0:
varphi(x)=varphi(0)+x,psi(x),
onde psi também é contínua. Substituindo na integral,
integral-epsilon2^epsilon2varphi(x),dx =integral-epsilon2^epsilon2l[varphi(0)+x,psi(x)r]dx =varphi(0),epsilon +integral-epsilon2^epsilon2x,psi(x),dx
O segundo termo é da ordem de epsilon^2 porque x varia em l[-epsilon2,epsilon2r]. Logo,
1epsilonintegral-epsilon2^epsilon2varphi(x),dx =varphi(0)+O(epsilon) xrightarrow[epsilonto0^+] varphi(0)

Passo 4

Como para toda função teste varphi temos
limepsilonto0^+llang<= chiepsilon,varphirrang<= =varphi(0) =llang<= de<a,varphirrang<=,
concluímos que, em D'(R),
limepsilonto0^+chiepsilon =de<a,
onde de<a é a distribuição de Dirac em 0.

Resposta

O limite limepsilonto0^+chiepsilon em D'(R) é a distribuição de Dirac de<a.

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