Neste exercício propomos duas questões sobre funções dadas da forma .
(1,25 ponto) b) Seja a função característica do intervalo , ou seja, para e para . Definamos por , em que é a função característica do intervalo . O limite existe em e é igual a uma distribuição bem conhecida. Qual é esta distribuição? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a sequência de funções
onde é 1 para e 0 caso contrário. Pede-se o limite em , ou seja, qual distribuição essa sequência aproxima.
Passo 2
Para identificar o limite como distribuição, tomamos uma função teste (suave de suporte compacto) e calculamos a ação de sobre :
Passo 3
Como é suave, faz sentido usar a expansão de Taylor em torno de :
onde também é contínua. Substituindo na integral,
O segundo termo é da ordem de porque varia em . Logo,