Neste exercício, vamos começar a investigar uma das séries mais importantes na matemática, a soma do inverso do quadrado dos números naturais,
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}} .
Veremos duas maneiras de demonstrar que esta série é convergente, uma por demonstração direta e a outra por indução. { }^{1}
Parte 1. Mostre pela via direta { }^{2} que, para todo n \in \mathbb{N} \backslash\{1\}, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<2. Depois, utilizando o teorema da convergência monótona, conclua que a sequência \left(\sum_{k=1}^{n} 1 / k^{2}\right)_{n \in \mathbb{N}} é convergente.
Parte 2. Vejamos outro modo de obter o mesmo resultado. Mostre por indução que, para todo n \in \mathbb{N}, vale a desigualdade \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}. Depois, utilizando o teorema da convergência monótona, de modo idêntico à parte 1 , conclua que a sequência \left(\sum_{k=1}^{n} 1 / k^{2}\right)_{n \in \mathbb{N}} é convergente.

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^2}
de duas formas.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas e aplicação do Teorema da Convergência Monótona (sequência parcial crescente e limitada).

Passo 2

Prova direta (Parte 1): para todo k\ge2 temos
\frac1{k^2} <\int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^2}\,dx =\Bigl[-\tfrac1{x}\Bigr]_{k-1}^{k} =\frac1{k-1}-\frac1{k}.
Somando de k=2 a n:
\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} <\sum_{k=2}^{n}\Bigl(\frac1{k-1}-\frac1{k}\Bigr) =1-\frac1{n}.
Como \frac1{1^2}=1, concluímos
\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} =1+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2} <1+\Bigl(1-\frac1{n}\Bigr) =2-\frac1{n} <2.

Passo 3

A sequência parcial \bigl(S_n\bigr)_{n\in\mathbb N}, com \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2},
é estritamente crescente (cada termo é positivo) e, conforme o passo 2, limitada superiormente por 2.
Pelo Teorema da Convergência Monótona, (S_n) converge.

Passo 4

Prova por indução (Parte 2): definimos S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} e mostramos que
S_n\le2-\frac1{n} \quad\text{para todo \(n\in\mathbb N\).}
Base n=1: S_1=1\le2-\tfrac1{1}=1.
Passo indutivo: suponha S_n\le2-\tfrac1{n}. Então
S_{n+1} =S_n+\frac1{(n+1)^2} \le2-\frac1{n}+\frac1{(n+1)^2}.
Basta verificar
2-\frac1{n}+\frac1{(n+1)^2}\le2-\frac1{n+1} \iff \frac1{n}-\frac1{(n+1)^2}\ge\frac1{n+1},
que se reduz a n^2+n+1\ge n^2+n, verdadeiro. Logo vale a desigualdade para n+1.

Passo 5

Como em cada passo indutivo mantemos S_n\le2-\tfrac1n<2 e os termos são positivos, a sequência (S_n) continua sendo crescente e limitada por 2. Pelo mesmo Teorema da Convergência Monótona, (S_n) converge.

Resposta

Parte 1: Para todo n\ge2,
\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}<2,
logo a sequência de somas parciais é crescente e limitada por 2, e portanto converge.
Parte 2: Por indução mostra-se que para todo n,
\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}\le2-\frac1{n},
novamente temos sequência crescente e limitada por 2, logo converge.

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