Neste exercício, vamos começar a investigar uma das séries mais importantes na matemática, a soma do inverso do quadrado dos números naturais,
Veremos duas maneiras de demonstrar que esta série é convergente, uma por demonstração direta e a outra por indução.
Parte 1. Mostre pela via direta
que, para todo
. Depois, utilizando o teorema da convergência monótona, conclua que a sequência
é convergente.
Parte 2. Vejamos outro modo de obter o mesmo resultado. Mostre por indução que, para todo
, vale a desigualdade
. Depois, utilizando o teorema da convergência monótona, de modo idêntico à parte 1 , conclua que a sequência
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
de duas formas.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas e aplicação do Teorema da Convergência Monótona (sequência parcial crescente e limitada).
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas e aplicação do Teorema da Convergência Monótona (sequência parcial crescente e limitada).
Passo 2
Prova direta (Parte 1): para todo
temos
Somando de
a
:
Como
, concluímos
Passo 3
A sequência parcial
, com
,
é estritamente crescente (cada termo é positivo) e, conforme o passo 2, limitada superiormente por .
Pelo Teorema da Convergência Monótona, converge.
é estritamente crescente (cada termo é positivo) e, conforme o passo 2, limitada superiormente por
Pelo Teorema da Convergência Monótona,
Passo 4
Prova por indução (Parte 2): definimos
e mostramos que
Base
:
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Basta verificar
que se reduz a
, verdadeiro. Logo vale a desigualdade para
.
Passo 5
Como em cada passo indutivo mantemos
e os termos são positivos, a sequência
continua sendo crescente e limitada por
. Pelo mesmo Teorema da Convergência Monótona,
converge.
Resposta
Parte 1: Para todo
,
logo a sequência de somas parciais é crescente e limitada por
, e portanto converge.
Parte 2: Por indução mostra-se que para todo
,
novamente temos sequência crescente e limitada por
, logo converge.