Neste exercício, vamos investigar a série
.
(a) Escreva os dez primeiros termos da série e, com o auxílio de uma calculadora, some-os. Você consegue estimar o valor da série?
(b) Faça uma decomposição em frações parciais,
, determinando os valores de
e
.
(c) Mostre que
.
(d) Determine o valor da série.
Observação. Note que você simplificou consideravelmente o problema ao identificar uma soma telescópica.
(a) Escreva os dez primeiros termos da série e, com o auxílio de uma calculadora, some-os. Você consegue estimar o valor da série?
(b) Faça uma decomposição em frações parciais,
(c) Mostre que
(d) Determine o valor da série.
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a série
usando soma dos dez primeiros termos, decomposição em frações parciais e telescópica, e finalmente achar o valor limite da série. Vamos usar cálculo numérico simples, frações parciais para obter
, e depois somar terminho a terminho até
para ver a forma telescópica.
Passo 2
Os dez primeiros termos são
.
Numericamente,
Numericamente,
e a soma desses dez termos dá aproximadamente
Isso sugere que a soma infinita esteja em torno de
.
Passo 3
Para decompor
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Comparando coeficientes em
e termo constante, fica
logo
e portanto
Passo 4
Usando a decomposição, a soma parcial até
é
Essa é uma soma telescópica: escrevendo alguns termos,
Logo
Passo 5
Para obter o valor da série infinita, tomamos o limite quando
:
Portanto a série converge para
.
Resposta
(a) Os dez primeiros termos são
e sua soma é aproximadamente
, sugerindo valor próximo de
.
(b) Na fração parcial tem-se e
, então
.
(c) A soma parcial é .
(d) Tomando , a soma da série é
.
(b) Na fração parcial tem-se
(c) A soma parcial é
(d) Tomando