Neste exercício, vamos investigar a série \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}.
(a) Escreva os dez primeiros termos da série e, com o auxílio de uma calculadora, some-os. Você consegue estimar o valor da série?
(b) Faça uma decomposição em frações parciais, \frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}, determinando os valores de A e B.
(c) Mostre que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}.
(d) Determine o valor da série.
Observação. Note que você simplificou consideravelmente o problema ao identificar uma soma telescópica.

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a série
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}
usando soma dos dez primeiros termos, decomposição em frações parciais e telescópica, e finalmente achar o valor limite da série. Vamos usar cálculo numérico simples, frações parciais para obter \frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}, e depois somar terminho a terminho até n para ver a forma telescópica.

Passo 2

Os dez primeiros termos são \displaystyle \frac{1}{1\cdot2},\frac{1}{2\cdot3},\frac{1}{3\cdot4},\dots,\frac{1}{10\cdot11}.
Numericamente,
\frac{1}{1\cdot2}=0,5,\; \frac{1}{2\cdot3}\approx0,1667,\; \frac{1}{3\cdot4}\approx0,0833,\;\dots,\; \frac{1}{10\cdot11}\approx0,0091,
e a soma desses dez termos dá aproximadamente
0,5+0,1667+0,0833+0,05+0,0333+0,0238+0,0179+0,0139+0,0111+0,0091\approx0,9091.
Isso sugere que a soma infinita esteja em torno de 1.

Passo 3

Para decompor
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1},
multiplicamos ambos os lados por k(k+1) e obtemos
1 = A(k+1)+Bk = (A+B)\,k + A.
Comparando coeficientes em k e termo constante, fica
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A = 1, \end{cases}
logo
A=1,\quad B=-1,
e portanto
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}.

Passo 4

Usando a decomposição, a soma parcial até n é
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr).
Essa é uma soma telescópica: escrevendo alguns termos,
\Bigl(1-\tfrac12\Bigr) + \Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr) + \cdots + \Bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\Bigr) = 1 - \frac{1}{n+1}.
Logo
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 5

Para obter o valor da série infinita, tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr) = 1 - 0 = 1.
Portanto a série converge para 1.

Resposta

(a) Os dez primeiros termos são \frac{1}{1\cdot2},\frac{1}{2\cdot3},\dots,\frac{1}{10\cdot11} e sua soma é aproximadamente 0,9091, sugerindo valor próximo de 1.
(b) Na fração parcial tem-se A=1 e B=-1, então \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
(c) A soma parcial é \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}.
(d) Tomando n\to\infty, a soma da série é \displaystyle1.

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