Neste exercício, vamos estudar o produto vetorial (u wed>= v) wed>= w.
(a) Mostre que existem lambda, mu in R tais que (u wed>= v) wed>= w=lambda u+mu v.
(b) Assumindo que u, v seja LI, vamos construir uma nova base ortonormal u1 da seguinte forma: tomamos u paralelo a u2 e u como combinação linear de v e (u wed>= v) wed>= w=-(v cdot w) u+(u cdot w) v. Mostre que u, v, w e u wed>=(v wed>= w)=(u cdot w) v-(u cdot v) w.
© Pondo u, v, w, mostre que (u wed>= v) wed>= w+(v wed>= w) wed>= u+(w wed>= u) wed>= v=0.
(d) Use o ítem (1) para mostrar que .
(e) Conclua que , para quaisquer vetores .
(f) Mostre que , para quaisquer vetores .
(g) Conclua a Identidade de Jacobi: .

Passo 1

O enunciado pede para explorar propriedades do produto vetorial em ℝ^3 e, em especial, a forma algébrica do produto vetorial duplo “(u∧v)∧w” e a outra ordem “u∧(v∧w)”, culminando na identidade de Jacobi. Vamos usar a ideia de decompor vetores segundo uma base ortonormal adaptada ao plano gerado por u e v e empregar a anticomutatividade e bilinearidade do produto vetorial.

Passo 2

Para (a), note que (u∧v) é perpendicular ao plano gerado por u e v. Então qualquer produto vetorial com w, i.e. (u∧v)∧w, é ortogonal a (u∧v). Mas {u,v,u∧v} é base de ℝ^3, logo sendo ortogonal a u∧v o vetor (u∧v)∧w não tem componente nessa direção e só pode estar no plano spanned by u,v. Daí existem λ,μ reais tais que
(uwed>= v)wed>= w=lambda,u+mu,v

Passo 3

Para (b), construímos E={e₁,e₂,e₃} ortonormal com e₁∥u e e₂,e₃ completando. Em coordenadas nessa base, qualquer vetor no plano {u,v} tem terceira componente zero. Assim escrevemos
u=(a1,0,0)E,
pois u\parallel e₁, e
v=(a2,b2,0)E,
com b₂≠0 pois v não é colinear a u.

Passo 4

No item ©, escrevemos também
w=(a3,b3,c3)E
Então usamos a fórmula do produto vetorial coordenada a coordenada: para
u=(a1,0,0), v=(a2,b2,0)
temos
uwed>= v=(0,0,a1b2)E
E em seguida, para
w=(a3,b3,c3)
(nuwed>= v)wed>= w = (0,0,a1b2)wed>=(a3,b3,c3) = (-a1b2b3,;a1b2a3,;0)E

Passo 5

No item (d), comparamos esta forma com (uwed>= v)wed>= w=lambda u+mu v= (lambda a1+mu a2,;mu b2,;0)E Igualando coordenadas, vemos
lambda a1+mu a2 = -a1b2b3, mu b2 = a1b2a3
Da segunda equação segue mu = a1a3. Substituindo na primeira e isolando lambda, obtém-se
lambda = -a1b2b3 + a2mua1 = -(a2a3 - b2b3)

Passo 6

No item (e), reconhecemos que nas coordenadas escolhidas
mu = a1a3 = ucdot w, lambda = -(a2a3 - b2b3) = -(vcdot w)
Logo
(uwed>= v)wed>= w = - (vcdot w),u + (ucdot w),v
para quaisquer u,v,w em ℝ^3.

Passo 7

No item (f), invertendo a ordem no produto vetorial duplo e usando a anticomutatividade em cada etapa, mostra-se de modo análogo que
uwed>=(vwed>= w) = (ucdot w),v - (ucdot v),w

Passo 8

Finalmente, no item (g), somando as duas expressões cíclicas
(uwed>= v)wed>= w + (vwed>= w)wed>= u + (wwed>= u)wed>= v
e usando as fórmulas anteriores vemos que todos os termos internos se cancelam, provando a identidade de Jacobi:
(uwed>= v)wed>= w + (vwed>= w)wed>= u + (wwed>= u)wed>= v = 0

Resposta

As identidades finais são:
(uwed>= v)wed>= w = -,(vcdot w),u + (ucdot w),v,
uwed>=(vwed>= w) = (ucdot w),v - (ucdot v),w,
e a identidade de Jacobi
(uwed>= v)wed>= w + (vwed>= w)wed>= u + (wwed>= u)wed>= v = 0

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