Neste exercício, vamos estudar o produto vetorial
.
(a) Mostre que existem
tais que
.
(b) Assumindo que
seja LI, vamos construir uma nova base ortonormal
da seguinte forma: tomamos
paralelo a
e
como combinação linear de
e
. Mostre que
e
.
© Pondo
, mostre que
.
(d) Use o ítem (1) para mostrar que
.
(e) Conclua que
, para quaisquer vetores
.
(f) Mostre que
, para quaisquer vetores
.
(g) Conclua a Identidade de Jacobi:
.
(a) Mostre que existem
(b) Assumindo que
© Pondo
(d) Use o ítem (1) para mostrar que
(e) Conclua que
(f) Mostre que
(g) Conclua a Identidade de Jacobi:
Passo 1
O enunciado pede para explorar propriedades do produto vetorial em ℝ^3 e, em especial, a forma algébrica do produto vetorial duplo “(u∧v)∧w” e a outra ordem “u∧(v∧w)”, culminando na identidade de Jacobi. Vamos usar a ideia de decompor vetores segundo uma base ortonormal adaptada ao plano gerado por u e v e empregar a anticomutatividade e bilinearidade do produto vetorial.
Passo 2
Para (a), note que (u∧v) é perpendicular ao plano gerado por u e v. Então qualquer produto vetorial com w, i.e. (u∧v)∧w, é ortogonal a (u∧v). Mas {u,v,u∧v} é base de ℝ^3, logo sendo ortogonal a u∧v o vetor (u∧v)∧w não tem componente nessa direção e só pode estar no plano spanned by u,v. Daí existem λ,μ reais tais que
Passo 3
Para (b), construímos E={e₁,e₂,e₃} ortonormal com e₁∥u e e₂,e₃ completando. Em coordenadas nessa base, qualquer vetor no plano {u,v} tem terceira componente zero. Assim escrevemos
pois u\parallel e₁, e
com b₂≠0 pois v não é colinear a u.
Passo 4
No item ©, escrevemos também
Então usamos a fórmula do produto vetorial coordenada a coordenada: para
temos
E em seguida, para
Passo 5
No item (d), comparamos esta forma com
Igualando coordenadas, vemos
Da segunda equação segue
. Substituindo na primeira e isolando
, obtém-se
Passo 6
No item (e), reconhecemos que nas coordenadas escolhidas
Logo
para quaisquer u,v,w em ℝ^3.
Passo 7
No item (f), invertendo a ordem no produto vetorial duplo e usando a anticomutatividade em cada etapa, mostra-se de modo análogo que
Passo 8
Finalmente, no item (g), somando as duas expressões cíclicas
e usando as fórmulas anteriores vemos que todos os termos internos se cancelam, provando a identidade de Jacobi:
Resposta
As identidades finais são:
e a identidade de Jacobi