Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
(1) Se
são paralelos então
.
(2) Se
então
são paralelos.
(3) Se
então
.
(4)
.
(5) Se
então
.
(6) Se
é LI e
então
.
(7) A base
é positiva.
(8) Se
é LI e
é ortogonal a
e a
então
é paralelo a
.
(9) Para quaisquer
tem-se que
.
(10) Para quaisquer
tem-se
.
(1) Se
(2) Se
(3) Se
(4)
(5) Se
(6) Se
(7) A base
(8) Se
(9) Para quaisquer
(10) Para quaisquer
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre o produto vetorial (cross product) como verdadeira ou falsa, provendo demonstração para as verdadeiras e contra-exemplo para as falsas.
Passo 2
(1) Se
são paralelos escrevemos
. Então
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(2) Se
então os vetores são linearmente dependentes. Num espaço de dimensão 3 isso significa que
e
são colineares, i.e., paralelos (incluindo o caso de um deles ser o vetor zero). Portanto é verdadeira.
Passo 4
(3) A afirmação diz que
implicaria
. Tome por exemplo
.
Então
Então
\vec u\wedge\vec w=(1,0,0)\wedge(1,1,0)=(0,0,1).
$$Mas claramente
. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 5
(4) Em geral
Logo é falsa.
Passo 6
(5) Se
mas
forem colineares então o lado esquerdo vale zero e há infinitas soluções não nulas para
. Por exemplo
permite
arbitrário, não obrigando
. Falsa.
Passo 7
(6) Agora supondo
linearmente independentes, note que
é perpendicular a ambos. Fazendo produto escalar com
e com
em
Passo 8
(7) Uma base
tem determinante
Passo 9
(8) Num espaço 3D, se
é LI então o subespaço ortogonal a ambos é a reta gerada por
. Logo qualquer
ortogonal a
e
é múltiplo de
, i.e., paralelo a ele. Verdadeira.
Passo 10
(9) O produto vetorial não é associativo. Por exemplo
já demonstrou em (3) que
Falsa.
Falsa.
Passo 11
(10) O produto vetorial é anticomutativo:
Resposta
(1) V; (2) V; (3) F; (4) F; (5) F; (6) V; (7) F; (8) V; (9) F; (10) F