Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
(1) Se vecu, v são paralelos então u wed>= v=0.
(2) Se u wed>= v=0 então u, v são paralelos.
(3) Se u wed>= v=u wed>= w então v=w.
(4) |u wed>= v|=|u||v|.
(5) Se u wed>= v=alpha u+beta v então alpha=beta=0.
(6) Se u, v é LI e u wed>= v=alpha u+beta v então alpha=beta=0.
(7) A base u, v, v wed>= u é positiva.
(8) Se u, v é LI e w é ortogonal a u e a v então w é paralelo a u wed>= v.
(9) Para quaisquer u, v, w tem-se que (u wed>= v) wed>= w=u wed>=(v wed>= w).
(10) Para quaisquer u, v tem-se u wed>= v=v wed>= u.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre o produto vetorial (cross product) como verdadeira ou falsa, provendo demonstração para as verdadeiras e contra-exemplo para as falsas.

Passo 2

(1) Se vec u,vec v são paralelos escrevemos vec u=lambdavec v. Então
vec uwed>=vec v=(lambdavec v)wed>=vec v=lambda,(vec vwed>=vec v)=lambda,vec0=vec0
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(2) Se vec uwed>=vec v=vec0 então os vetores são linearmente dependentes. Num espaço de dimensão 3 isso significa que vec u e vec v são colineares, i.e., paralelos (incluindo o caso de um deles ser o vetor zero). Portanto é verdadeira.

Passo 4

(3) A afirmação diz que vec uwed>=vec v=vec uwed>=vec w implicaria vec v=vec w. Tome por exemplo vec u=(1,0,0),vec v=(0,1,0),vec w=(1,1,0).
Então
vec uwed>=vec v=(1,0,0)wed>=(0,1,0)=(0,0,1), $$
\vec u\wedge\vec w=(1,0,0)\wedge(1,1,0)=(0,0,1).
$$Mas claramente vec uwed>=vec w=(1,0,0)wed>=(1,1,0)=(0,0,1) . Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

(4) Em geral
|vec uwed>=vec v|=|vec u|,|vec v|,|sintheta|, não sendo igual a |vec u|,|vec v| a não ser que sintheta=1. Contraponha com vec u=(1,0,0),;vec v=(2,0,0)implies|vec uwed>=vec v|=0neq2=|vec u|,|vec v|
Logo é falsa.

Passo 6

(5) Se vec uwed>=vec v=alphavec u+betavec v mas vec u,vec v forem colineares então o lado esquerdo vale zero e há infinitas soluções não nulas para alpha,beta. Por exemplo vec u=vec v=(1,0,0)impliesvec uwed>=vec v=vec0=alphavec u+betavec v=(alpha+beta)(1,0,0) permite alpha+beta=0 arbitrário, não obrigando alpha=beta=0. Falsa.

Passo 7

(6) Agora supondo vec u,vec v linearmente independentes, note que vec uwed>=vec v é perpendicular a ambos. Fazendo produto escalar com vec u e com vec v em
vec ucdot(alphavec u+betavec v)=0,vec vcdot(alphavec u+betavec v)=0 gera o sistema
alpha|vec u|^2+beta(vec ucdotvec v)=0, alpha(vec ucdotvec v)+beta|vec v|^2=0 Como o determinante |vec u|^2|vec v|^2-(vec ucdotvec v)^2>0, a única solução é alpha=beta=0. Verdadeira.

Passo 8

(7) Uma base vec u,vec v,vec vwed>=vec u tem determinante
det[vec u,vec v,vec vwed>=vec u]=det[vec u,vec v,-(vec uwed>=vec v)]=-det[vec u,vec v,vec uwed>=vec v] Mas vec u,vec v,vec uwed>=vec v é positiva, então colocar um sinal menos torna a base negativa. Assim é falsa.

Passo 9

(8) Num espaço 3D, se vec u,vec v é LI então o subespaço ortogonal a ambos é a reta gerada por vec uwed>=vec v. Logo qualquer vec w ortogonal a vec u e vec v é múltiplo de vec uwed>=vec v, i.e., paralelo a ele. Verdadeira.

Passo 10

(9) O produto vetorial não é associativo. Por exemplo vec u=(1,0,0),;vec v=(0,1,0),;vec w=(1,1,0) já demonstrou em (3) que (vec uwed>=vec v)wed>=vec w=(-1,1,0)neq(0,1,0)=vec uwed>=(vec vwed>=vec w)
Falsa.

Passo 11

(10) O produto vetorial é anticomutativo:
vec uwed>=vec v=-(vec vwed>=vec u) Logo em geral vec uwed>=vec vneqvec vwed>=vec u (exceto quando ambos forem zero). Falsa.

Resposta

(1) V; (2) V; (3) F; (4) F; (5) F; (6) V; (7) F; (8) V; (9) F; (10) F

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