Seja (xn) a sequência das frações decimais positivas próprias organizadas como indicado abaixo:
(xn)=(110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, 810, 910, 1100, 2100, ldots, 99100, 11000, 21000, 31000, ldots, 9991000, ldots)
beta=ln 2 approx 0,693147181 é um número irracional. Escreva os cinco primeiros termos de uma subsequência (xnk) tal que lim k infty xnk=beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de frações decimais positivas organizadas de forma crescente com denominadores cada vez maiores: primeiro, denominadores de 10, depois de 100, 1000, e assim por diante. O número que queremos alcançar é beta = ln 2 approx 0,693147181, que é irracional. Nosso objetivo é encontrar os cinco primeiros termos de uma subsequência dessa sequência original que se aproxima cada vez mais de beta conforme avançamos nos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Imagine que você tem uma sequência de números e decide selecionar alguns deles em ordem, sem alterar a ordem original. Esses números selecionados formam uma subsequência. A ideia é que essa subsequência se aproxime de beta conforme avançamos nos termos.

Passo 3

Agora, precisamos escolher frações decimais que se aproximem cada vez mais de beta = 0,693147181. Vamos começar identificando frações com denominadores de potências de 10 que se aproximem desse valor. Por exemplo:
  • Com denominador 10: 710 = 0,7
  • Com denominador 100: 69100 = 0,69
  • Com denominador 1000: 6931000 = 0,693
  • Com denominador 10000: 693110000 = 0,6931
  • Com denominador 100000: 69315100000 = 0,69315

Passo 4

Vamos verificar como cada um desses termos se aproxima de beta:
  1. 710 = 0,7 → Diferença: 0,7 - 0,693147181 approx 0,00685
  2. 69100 = 0,69 → Diferença: 0,693147181 - 0,69 approx 0,003147181
  3. 6931000 = 0,693 → Diferença: 0,693147181 - 0,693 approx 0,000147181
  4. 693110000 = 0,6931 → Diferença: 0,693147181 - 0,6931 approx 0,000047181
  5. 69315100000 = 0,69315 → Diferença: 0,69315 - 0,693147181 approx 0,000002819
Como podemos ver, à medida que aumentamos o denominador, a diferença entre o termo escolhido e beta diminui, ou seja, os termos estão se aproximando de beta.

Passo 5

Portanto, os primeiros cinco termos da subsequência que estamos buscando são:
  1. 710 = 0,7
  2. 69100 = 0,69
  3. 6931000 = 0,693
  4. 693110000 = 0,6931
  5. 69315100000 = 0,69315

Resposta

Os cinco primeiros termos da subsequência são:
710, 69100, 6931000, 693110000, 69315100000

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