Seja
a sequência das frações decimais positivas próprias organizadas como indicado abaixo:
é um número irracional. Escreva os cinco primeiros termos de uma subsequência
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de frações decimais positivas organizadas de forma crescente com denominadores cada vez maiores: primeiro, denominadores de 10, depois de 100, 1000, e assim por diante. O número que queremos alcançar é
, que é irracional. Nosso objetivo é encontrar os cinco primeiros termos de uma subsequência dessa sequência original que se aproxima cada vez mais de
conforme avançamos nos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Imagine que você tem uma sequência de números e decide selecionar alguns deles em ordem, sem alterar a ordem original. Esses números selecionados formam uma subsequência. A ideia é que essa subsequência se aproxime de
conforme avançamos nos termos.
Passo 3
Agora, precisamos escolher frações decimais que se aproximem cada vez mais de
. Vamos começar identificando frações com denominadores de potências de 10 que se aproximem desse valor. Por exemplo:
- Com denominador 10:
- Com denominador 100:
- Com denominador 1000:
- Com denominador 10000:
- Com denominador 100000:
Passo 4
Vamos verificar como cada um desses termos se aproxima de
:
-
→ Diferença: -
→ Diferença: -
→ Diferença: -
→ Diferença: -
→ Diferença:
Como podemos ver, à medida que aumentamos o denominador, a diferença entre o termo escolhido e
diminui, ou seja, os termos estão se aproximando de
.
Passo 5
Portanto, os primeiros cinco termos da subsequência que estamos buscando são:
Resposta
Os cinco primeiros termos da subsequência são: