Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Calcule as energias

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula livre numa “caixa” 1D de comprimento psi(x)=raiztfrac2Lsin!l(tfracpi xLr), E1^rm exato=pi^22hbar^2mL^2approx4,9348,hbar^2mL^2, . A solução exata do estado fundamental é
O objetivo é usar o princípio variacional para aproximar essa energia, escolhendo uma função-teste simples e calculando seu valor esperado de energia. Para isso vamos precisar:
  1. normalizar a função-teste;
  2. usar a forma do Hamiltoniano (não há potencial no interior da caixa, só as condições de contorno );
  3. calcular .

Passo 2

Escolhemos a função-teste mais simples que já satisfaz zero nas bordas:
phi(x)=A,x,(L-x), 0<= x<= L,
com para normalizar. Essa escolha é comum porque é fácil de derivar e cumpre .

Passo 3

Normalização:
1=integral0^L|phi(x)|^2dx = A^2integral0^L x^2(L-x)^2,dx
Calculemos o integral (é só expandir e usar as fórmulas de potências):
integral0^L x^2(L-x)^2 dx =integral0^L l(L^2x^2-2Lx^3+x^4r)dx =L^2L^33-2LL^44+L^55 =L^53-L^52+L^55 =L^530
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A^2;L^530=1 Longrightarrow A=raiz30L^5

Passo 4

Agora lang<= Trang<= =-hbar^22mintegral0^Lphi(x),phi''(x),dx . Como o potencial é zero no interior, basta a parte cinética:
lang<= Trang<= =hbar^22mintegral0^Ll|phi'(x)r|^2dx
ou equivalentemente
phi'(x) =Al(L-2xr),
Calculemos integral0^L|phi'|^2dx =A^2integral0^L(L-2x)^2dx =A^2l[L^3-;2L^3+tfrac43L^3r] =A^2L^33 =30L^5,L^33 =10L^2 e então o integral:
lang<= Trang<= =hbar^22m,10L^2 =5hbar^2mL^2
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Passo 5

Pelo princípio variacional temos
Erm var =lang<= Hrang<= =5hbar^2mL^2
Compare com o exato: . Nossa aproximação deu , bem pertinho!

Resposta

Energia exata:
E1^rm exato =pi^22,hbar^2mL^2approx4,9348,hbar^2mL^2
Energia variacional (função-teste Erm var =5,hbar^2mL^2 ):

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