Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento . Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo , valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões e , ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Calcule as energias
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula livre numa “caixa” 1D de comprimento . A solução exata do estado fundamental é
O objetivo é usar o princípio variacional para aproximar essa energia, escolhendo uma função-teste simples e calculando seu valor esperado de energia. Para isso vamos precisar:
normalizar a função-teste;
usar a forma do Hamiltoniano (não há potencial no interior da caixa, só as condições de contorno );
calcular .
Passo 2
Escolhemos a função-teste mais simples que já satisfaz zero nas bordas:
com para normalizar. Essa escolha é comum porque é fácil de derivar e cumpre .
Passo 3
Normalização:
Calculemos o integral (é só expandir e usar as fórmulas de potências):
Logo
Passo 4
Agora . Como o potencial é zero no interior, basta a parte cinética:
ou equivalentemente
Calculemos integral0^L|phi'|^2dx =A^2integral0^L(L-2x)^2dx =A^2l[L^3-;2L^3+tfrac43L^3r] =A^2L^33 =30L^5,L^33 =10L^2 e então o integral:
lang<= Trang<= =hbar^22m,10L^2 =5hbar^2mL^2
Logo
Passo 5
Pelo princípio variacional temos
Erm var =lang<= Hrang<= =5hbar^2mL^2
Compare com o exato: . Nossa aproximação deu , bem pertinho!