Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma “caixa” unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
a) Tomemos a função de onda quadrática phi1(x)=A x(L-x). Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização A. Dica: integre apenas dentro da região de interesse 0 <= x <= L.
b) Utilizando a função de onda phi1(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
lang<=Hrang<=1=integral0^L phi1 H phi1 d x onde H=-hbar^22 m d^2d x^2
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule lang<=Hrang<=1-E1E1 times 100 %.
c) Tomemos agora uma outra função phi2(x)=B x^2(L-x)^2. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização B.
d) Utilizando a função de onda phi2(x) normalizada, calcule o valor esperado da energia total lang<=Hrang<=2. Novamente, compare com E1.
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
psi=C phi1+D phi2
e) Normalize a função psi. Deixe sua resposta em termos das constantes C e D e da integral de sobreposição S=integral0^L phi1 phi2 d x.
f) Calcule a integral de sobreposição S=integral0^L phi1 phi2 d x.
g) Calcule a integral de ressonância beta=integral0^L phi1 H phi2 d x.
h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para E a ser resolvida é:
(1-S^2) E^2+[2 beta S-(lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2)] E+(lang<=Hrang<=1lang<=Hrang<=2-beta^2)=0
i) Mostre que as energias que são soluções da equação do item h) são dadas por:
E pm=lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2-2 beta S pm raiz(lang<=Hrang<=1+lang<=Hrang<=2-2 beta S)^2-4(1-S^2)(lang<=Hrang<=1lang<=Hrang<=2-beta^2)2(1-S^2)
j) Calcule as energias E+e E-. A energia E-é a nossa estimativa para a energia exata do estado fundamental. Compare E- com E1.
k) Determine o valor das constantes C e D para a função de onda teste com energia E-. Você espera que qual função ( phi1 ou phi2 ) contribua mais para psi-? Os resultados para C e D concordam com isso? Escreva explicitamente a função de onda psi-(x).

Passo 1

Beleza, a ideia é usar o princípio variacional pra aproximar a energia do estado fundamental de uma partícula num poço 1D de largura . A matéria envolvida é mecânica quântica básica: normalização de funções de onda, valor esperado de operador hamiltoniano , e combinação linear de funções de onda. Vamos precisar:
  • normalizar e ,
  • calcular , ,
  • achar integrals de sobreposição e de ressonância ,
  • montar a equação secular e resolver pra ,
  • finalmente determinar os coeficientes da combinação linear que minimiza a energia.

Passo 2

(Parte a) Normalize A^2L^530=1Longrightarrow A=raiz30L^5, .
  1. Impor .\
  2. Calcular .\
  3. Então

Passo 3

(Parte b) Calcule lang<= Hrang<=1 =hbar^2m30L^5L^36 =5,hbar^2mL^2approx5,hbar^2mL^2, .
  1. Derivadas: , .
  2. .
  3. . Com vem

Passo 4

(Parte c) Normalize B^2L^9630=1 Longrightarrow B=raiz630L^9, .
  1. .
  2. Logo

Passo 5

(Parte d) Calcule .
  1. Encontra-se .
  2. .

Passo 6

(Parte e) Normalize C^2 + D^2 +2S,C,D =1, onde S=integral0^Lphi1phi2,dx .
Exigindo

Passo 7

(Parte f) Calcule S=3raiz2114approx0.9821 .
Fazendo a integral polinomial chega-se a

Passo 8

(Parte g) Calcule beta=raiz21,hbar^2mL^2approx4.583,hbar^2mL^2 .
Depois de derivar e integrar dá

Passo 9

(Parte h) Pela teoria variacional e combinação linear obtemos a secular
(1-S^2),E^2+l[2beta S-(lang<= Hrang<=1+lang<= Hrang<=2)r]E +l(lang<= Hrang<=1lang<= Hrang<=2-beta^2r)=0

Passo 10

(Parte i) As raízes são
Epm =lang<= Hrang<=1+lang<= Hrang<=2-2beta S pmraizl(lang<= Hrang<=1+lang<= Hrang<=2-2beta Sr)^2 -4(1-S^2)(lang<= Hrang<=1lang<= Hrang<=2-beta^2) 2(1-S^2)

Passo 11

(Parte j) Substituindo valores (em unidades E-approx4.94, E+approx51.3, ):
, , , ,
e o erro relativo de frente ao exato fica em torno de .

Passo 12

(Parte k) Os coeficientes para o modo CD=beta -S,E-E--lang<= Hrang<=1 approx4.52 vêm da relação
Capprox0.821, Dapprox0.181
Impondo psi-(x)approx0.821,phi1(x)+0.181,phi2(x), obtemos numericamente
Logo a onda de menor energia é
mostrando que contribui bem mais que .

Resposta

Energia aproximada .
Coeficientes na combinação linear: , .

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