Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma “caixa” unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
a) Tomemos a função de onda quadrática
. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização
. Dica: integre apenas dentro da região de interesse
.
b) Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total, ou seja, calcule:
Compare seu resultado ao valor exato da energia do estado fundamental, para isso calcule
.
c) Tomemos agora uma outra função
. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização
.
d) Utilizando a função de onda
normalizada, calcule o valor esperado da energia total
. Novamente, compare com
.
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
e) Normalize a função
. Deixe sua resposta em termos das constantes
e
e da integral de sobreposição
.
f) Calcule a integral de sobreposição
.
g) Calcule a integral de ressonância
.
h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para
a ser resolvida é:
i) Mostre que as energias que são soluções da equação do item h) são dadas por:
j) Calcule as energias
e
. A energia
é a nossa estimativa para a energia exata do estado fundamental. Compare
.
k) Determine o valor das constantes
e
para a função de onda teste com energia
. Você espera que qual função (
ou
) contribua mais para
? Os resultados para
e
concordam com isso? Escreva explicitamente a função de onda
.
a) Tomemos a função de onda quadrática
b) Utilizando a função de onda
c) Tomemos agora uma outra função
d) Utilizando a função de onda
■ Combinação linear de funções de onda. Vamos utilizar uma função de onda teste que é uma combinação linear das funções de onda normalizadas utilizadas anteriormente.
f) Calcule a integral de sobreposição
g) Calcule a integral de ressonância
h) Utilizando o princípio variacional, como desenvolvido na aula 10 , mostre que a equação quadrática para
k) Determine o valor das constantes
Passo 1
Beleza, a ideia é usar o princípio variacional pra aproximar a energia do estado fundamental de uma partícula num poço 1D de largura
. A matéria envolvida é mecânica quântica básica: normalização de funções de onda, valor esperado de operador hamiltoniano
, e combinação linear de funções de onda. Vamos precisar:
- normalizar
e , - calcular
, , - achar integrals de sobreposição
e de ressonância , - montar a equação secular e resolver pra
, - finalmente determinar os coeficientes
da combinação linear que minimiza a energia.
Passo 2
(Parte a) Normalize
.
- Impor
.\ - Calcular
.\ - Então
Passo 3
(Parte b) Calcule
.
- Derivadas:
, . -
. -
. Com vem
Passo 4
(Parte c) Normalize
.
-
. - Logo
Passo 5
(Parte d) Calcule
.
- Encontra-se
. -
.
Passo 6
(Parte e) Normalize
.
Exigindo dá
Exigindo
Passo 7
(Parte f) Calcule
.
Fazendo a integral polinomial chega-se a
Fazendo a integral polinomial chega-se a
Passo 8
(Parte g) Calcule
.
Depois de derivar e integrar dá
Depois de derivar e integrar dá
Passo 9
(Parte h) Pela teoria variacional e combinação linear obtemos a secular
Passo 10
(Parte i) As raízes são
Passo 11
(Parte j) Substituindo valores (em unidades
):
,
,
,
,
dá
dá
e o erro relativo de
frente ao exato
fica em torno de
.
Passo 12
(Parte k) Os coeficientes para o modo
vêm da relação
Impondo
obtemos numericamente
Logo a onda de menor energia é
mostrando que
contribui bem mais que
.
Resposta
Energia aproximada
.
Coeficientes na combinação linear: ,
.
Coeficientes na combinação linear: