Neste problema, será desenvolvida uma prova épsilon-delta para lim z 1+i[(1-i) z+2 i]=2+2 i.
(a) Escreva a definição épsilon-delta (Definição 2.6.1) de lim z 1+i[(1-i) z+2 i]=2+2 i.
(b) Fatore (1-i) da desigualdade que envolve varepsilon (da parte (a)) e simplifique. A seguir, reescreva esta desigualdade na forma |z-(1+i)|< .
© Com base no que fez na parte (b), que valor deve ser fixado para de ?
(d) Escreva uma prova épsilon-delta para lim z 1+i[(1-i) z+2 i]=2+2 i.

Passo 1

Estamos analisando o limite limzto1+i[(1-i)z+2i]=2+2i. O conteúdo envolve a definição varepsilon- de para funções complexas, que diz que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que 0<|z-(1+i)| implica |f(z)-L|. Vamos usar isso para construir a prova.

Passo 2

Escrevendo a definição explicitamente temos: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|z-(1+i)|, então
| (1-i)z+2i - (2+2i)| < varepsilon

Passo 3

Agora fatoramos (1-i): note que
(1-i)z+2i - (2+2i) = (1-i)z -2 +2i -2i = (1-i)z - (1-i)(1+i) = (1-i)[z-(1+i)]

Passo 4

Assim temos
| (1-i)z+2i - (2+2i)| = |1-i|,|z-(1+i)|

Passo 5

Para garantir |1-i|,|z-(1+i)| < varepsilon basta ter
|z-(1+i)| < varepsilon|1-i|

Passo 6

Logo, a escolha natural é tomar
de

Passo 7

Prova completa: dado varepsilon>0, seja de. Se 0<|z-(1+i)|, então
| (1-i)z+2i - (2+2i)| = |1-i|,|z-(1+i)| < |1-i|,de o que mostra |f(z)-L|. Portanto limzto1+i[(1-i)z+2i]=2+2i.

Resposta

de

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