Neste problema, será desenvolvida uma prova épsilon-delta para
.
(a) Escreva a definição épsilon-delta (Definição 2.6.1) de
.
(b) Fatore
da desigualdade que envolve
(da parte (a)) e simplifique. A seguir, reescreva esta desigualdade na forma
.
© Com base no que fez na parte (b), que valor deve ser fixado para
?
(d) Escreva uma prova épsilon-delta para
.
(a) Escreva a definição épsilon-delta (Definição 2.6.1) de
(b) Fatore
© Com base no que fez na parte (b), que valor deve ser fixado para
(d) Escreva uma prova épsilon-delta para
Passo 1
Estamos analisando o limite
. O conteúdo envolve a definição
-
para funções complexas, que diz que para todo
existe
tal que
implica
. Vamos usar isso para construir a prova.
Passo 2
Escrevendo a definição explicitamente temos: para todo
existe
tal que, se
, então
Passo 3
Agora fatoramos
: note que
Passo 4
Assim temos
Passo 5
Para garantir
basta ter
Passo 6
Logo, a escolha natural é tomar
Passo 7
Prova completa: dado
, seja
. Se
, então