Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
x y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem
x,y' - y = 0
Este tipo de equação pode ser tratado como separável, pois dá para isolar y' em função de y e x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação dividindo ambos os lados por x (assumindo xneq0):
x,y' - y =0 Longrightarrow xdydx = y Longrightarrow dydx = yx
Isso mostra que podemos separar as variáveis.

Passo 3

Agora aplicamos a técnica de separação de variáveis. Colocamos todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro:
1y,dy = 1x,dx
Em seguida, integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1x,dx Longrightarrow ln|y| = ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, exponenciamos para eliminar o logaritmo e ajustamos a constante:
|y| = e^ln|x| + C = e^C,|x|
Chamando e^C de uma nova constante positiva K e permitindo sinal em K, obtemos a solução geral
y(x) = C1,x,
onde C1 é uma constante real qualquer (inclui C1=0, que gera a solução trivial).

Resposta

y(x) = C,x, com C constante real.

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