Neste problema, será desenvolvida uma prova épsilon-delta para lim z 2 i 2 z^2-3 i z+2z-2 i=5 i.
(a) Escreva a definição épsilon-delta (Definição 2.6.1) de lim z 2 i 2 z^2-3 i z+2z-2 i=5 i.
(b) Simplifique a desigualdade que envolve varepsilon (da parte (a)) e a reescreva na forma |z-2 i|< .
© Com base no que fez parte (b), que valor deve ser fixado para de ?
(d) Escreva uma prova épsilon-delta para lim z 2 i 2 z^2-3 i z+2z-2 i=5 i.

Passo 1

O enunciado quer provar que limzto2i2z^2-3iz+2z-2i=5i usando a definição varepsilon- de: conteúdo é limite de função complexa e vamos precisar da definição formal que diz "para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se 0<|z-2i| então |f(z)-5i|".

Passo 2

Para simplificar a desigualdade em varepsilon, note que para zneq2i podemos dividir o numerador por z-2i:
2z^2-3iz+2z-2i=2z+i
Logo
|2z^2-3iz+2z-2i-5i|=|2z+i-5i|=|2z-4i|=2|z-2i|
A condição 2|z-2i| é equivalente a
|z-2i|

Passo 3

Agora escrevemos a prova varepsilon- de: dado varepsilon>0, escolhemos de. Se 0<|z-2i|, então
|2z^2-3iz+2z-2i-5i|=2|z-2i|<2de
concluindo que a definição de limite é satisfeita.

Resposta

de

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