Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
x^2 y^prime+y=0

Passo 1

A equação que queremos resolver é x^2y' + y = 0. Isso é uma EDO de 1ª ordem, linear e homogênea, que podemos tratar por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo para isolar y':
x^2y' = -y
Dividindo ambos os lados por x^2 e considerando y' = dydx, obtemos
dydx = -yx^2
Que leva à separação
1y,dy = -x^-2,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 1y,dy = integral -x^-2,dx

Passo 4

Calculando as integrais, vem
ln|y| = 1x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponenciando para isolar y:
|y| = e^1x + C = e^Ce^1/x
Definindo K = pm e^C, a solução geral fica
y(x) = K,e^1/x, KinR
Vale notar que para K=0 já cobrimos a solução trivial yequiv0.

Resposta

A solução geral é y(x) = C,e^1/x, CinR,;xneq0.

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