Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
x^3 y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem x^3y' - 2y = 0. O conteúdo aqui é equações de primeira ordem separáveis e vamos usar a técnica de separação de variáveis.

Passo 2

Isolamos y' e obtemos a forma padrão separável:
y' = 2yx^3
ou seja
dydx = 2y,x^-3

Passo 3

Separamos as variáveis levando todos os termos com y para um lado e com x para o outro:
1y,dy = 2x^-3,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 2x^-3,dx
No lado esquerdo fica ln|y|. No lado direito
integral 2x^-3,dx = 2 cdot x^-2-2 = -x^-2
Logo:
ln|y| = -x^-2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponentiamos para achar y:
|y| = e^-x^-2 + C = e^C cdot e^-1/x^2
Chamando K = pm e^C, obtemos
y(x) = K e^-1/x^2,
com K real arbitrário.

Passo 6

Observação sobre o domínio: a equação original envolve x^3 no denominador ao isolar y', então a solução vale em intervalos onde xneq 0.

Resposta

A solução geral é y(x)=K,e^-1/x^2, com Kin R, válida para xneq0.

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