Neste problema, usando a definição alternativa (12) e as formas polares de
e
, você deverá provar que
|z| não é diferenciável em todos os pontos.
(a) Sejam
e
. Ao longo desse percurso, calcule
.
(b) Sejam
e
. Ao longo deste percurso, calcule
.
© Explique sucintamente por que os resultados das partes (a) e (b) mostram que
não é diferenciável em todos os pontos.
(a) Sejam
(b) Sejam
© Explique sucintamente por que os resultados das partes (a) e (b) mostram que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=|z| não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo, usando a definição alternativa de derivada complexa (o limite do quociente incremental) e explorando aproximações por caminhos polares (variação radial e variação angular).
Passo 2
Vamos primeiro aproximar z₀=r(\cos θ+i sen θ) variando apenas a parte radial: definimos z=(r+Δr)(\cos θ+i sen θ) com Δr→0. Então o quociente incremental é
Como |r+Δr|-r=Δr para Δr→0 (pois r+Δr>0), temos
Passo 3
Agora aproximamos z₀ pela variação angular: z=r[\cos(θ+Δθ)+i sen(θ+Δθ)] com Δθ→0. O quociente fica
Passo 4
Vemos que os dois limites (e^{-iθ} e 0) são diferentes sempre que r>0. Pela definição de derivada, para existir f’(z₀) esse limite tem de ser único e independente do caminho de aproximação. Aqui ele depende de como z→z₀.
Portanto, f não é diferenciável em nenhum ponto z₀≠0. Inclusive, em z₀=0 o limite radial dá e^{-iθ} que varia com θ, logo também não existe derivada aí.
Esses cálculos mostram que a derivada complexa não existe em parte alguma do plano.
Portanto, f não é diferenciável em nenhum ponto z₀≠0. Inclusive, em z₀=0 o limite radial dá e^{-iθ} que varia com θ, logo também não existe derivada aí.
Esses cálculos mostram que a derivada complexa não existe em parte alguma do plano.
Resposta
Os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes (e^{-iθ} e 0), então f(z)=|z| não satisfaz a condição de derivabilidade em nenhum ponto do plano complexo.