Neste problema, usando a definição alternativa (12) e as formas polares de z e zn, você deverá provar que f(z)= |z| não é diferenciável em todos os pontos.
(a) Sejam tildepi=r(cos theta+i sen theta) e z=(r+De. Ao longo desse percurso, calcule z0=r(cos theta+i sen theta).
(b) Sejam z=r[cos (theta+De e f. Ao longo deste percurso, calcule .
© Explique sucintamente por que os resultados das partes (a) e (b) mostram que não é diferenciável em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=|z| não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo, usando a definição alternativa de derivada complexa (o limite do quociente incremental) e explorando aproximações por caminhos polares (variação radial e variação angular).

Passo 2

Vamos primeiro aproximar z₀=r(\cos θ+i sen θ) variando apenas a parte radial: definimos z=(r+Δr)(\cos θ+i sen θ) com Δr→0. Então o quociente incremental é
f(z)-f(z₀)z-z₀=|r+Δr|-r(r+Δr)e^iθ-re^iθ=|r+Δr|-rΔr,e^iθ=|r+Δr|-rΔr,e^-iθ
Como |r+Δr|-r=Δr para Δr→0 (pois r+Δr>0), temos
limΔrto0f(z)-f(z₀)z-z₀=1cdot e^-iθ=e^-iθ

Passo 3

Agora aproximamos z₀ pela variação angular: z=r[\cos(θ+Δθ)+i sen(θ+Δθ)] com Δθ→0. O quociente fica
f(z)-f(z₀)z-z₀=r-rr(e^i(θ+Δθ)-e^iθ)=0

Passo 4

Vemos que os dois limites (e^{-iθ} e 0) são diferentes sempre que r>0. Pela definição de derivada, para existir f’(z₀) esse limite tem de ser único e independente do caminho de aproximação. Aqui ele depende de como z→z₀.
Portanto, f não é diferenciável em nenhum ponto z₀≠0. Inclusive, em z₀=0 o limite radial dá e^{-iθ} que varia com θ, logo também não existe derivada aí.
Esses cálculos mostram que a derivada complexa não existe em parte alguma do plano.

Resposta

Os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes (e^{-iθ} e 0), então f(z)=|z| não satisfaz a condição de derivabilidade em nenhum ponto do plano complexo.

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